¿Es cierto?

Question

$(1+ta_1)(1+ta_2)...(1+ta_n)=1$ $\forall t\in R$ Si y sólo si $a_1=a_2=...=a_n=0$

¿Es cierto? En caso afirmativo, ¿cómo probarlo?

Ya hice una prueba cuando $n=3$.

$1=(1+ta_1)(1+ta_2)(1+ta_3)=1+(a_1+a_2+a_3)t+(a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3)t^2+(a_1a_2a_3)t^3$

Es equivalente a

$a_1+a_2+a_3=0$

$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3=0$

$a_1a_2a_3=0$

Y esto da

$a_1=a_2=a_3=0$

¿Es posible hacer generalizaciones arbitrarias $n$?

$(1+ta_1)(1+ta_2)\cdots(1+ta_n)=1$, $\forall{t}$ $\in$ $\Bbb{R}$⟺ $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$

Answer 1

Si existe un $\,a_k \ne 0\,$ de $\,t = -1/a_k\,$ la LHS es $\,0\,$ es decir, diferentes de los RHS que es $\,1\,$. Por lo tanto puede mantener la igualdad para todo real $\,t\,$iff $\,a_k = 0 \mid k=1,2,\ldots,n\,$.

Nota: lo anterior supone que el % de coeficientes $\,a_k\,$son reales.

Answer 2

Sólo he encontrado una nueva forma de probar esto.

No es difícil ver que los coeficientes del polinomio son todos ceros. Cuando $n=4$, es decir,

$a_1+a_2+a_3+a_4=0$

$a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4=0$

$a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4=0$

$a_1a_2a_3a_4=0$

La última igualdad, por lo menos un $a_i(i=1,2,3,4)$ es cero. Supongamos que $a_1=0$.

Luego de la segunda igualdad última, $a_2a_3a_4=0$. Supongamos que $a_2=0$.

Entonces por la tercera igualdad última, $a_3a_4=0$. Supongamos que $a_3=0$.

Luego de la primera igualdad, $a_4=0$.