Convergencia de$f(x)+ f^{2} (x) + f^{3}(x)+ … $

Question

Imaginar que $x \in (0,1]$ y $f$ es una función continua tal que $0 <f cualquier="" de="" definir="" f="" n="" recursivamente="" tambi="" x="">¿Hay cualquier teoremas que pusieron condiciones simples, pero también bastante generales en $f(x)$ que asegura que la serie $f(x)+ f^{2} (x) + f^{3}(x)+ …$ es convergente? Gracias.

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Answer 1

Una condición para la convergencia de la secuencia de $\{f^k(x)\}$ es que el $f$ es una contracción: si existe un número $0 \le \theta < 1$ con la propiedad de que $|f(x) - f(y)| \le \theta |x-y|$ todos los $x$$y$, es bastante habitual para mostrar que $\{f^k(x)\}$ es una secuencia de Cauchy para cualquier $x$ en el dominio de $f$, y, además, que el límite es el mismo para todos los $x$.

Esto sugiere una analogía de la serie.

Si hay una constante $0 \le \theta < 1$ con la propiedad de que $0 < f(x) \le \theta x$ todos los $x$, $f: (0,1] \to (0,\theta]$ y por iteración en la desigualdad encontrará $0 \le f^k(x) \le \theta^{k-1}x \le \theta^{k-1}$ todos los $x$. La serie se ve entonces a ser convergentes, mediante la prueba de comparación con una serie geométrica convergente.