Que S={x0,…,xn} ser un subconjunto finito de [0,1], x0=0 y x1=1 tal que cada distancia entre pares de elementos de S se produce por lo menos dos veces, excepto para el % de distancia 1, entonces estamos para ver que S es un subconjunto de Q.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Deje V Q- espacio vectorial generado por S y deje ≤ ser cualquier orden total en V compatible con la adición (forall x,y,z∈V si x≤yx+z≤y+z, y, más en general, cualquier razonamiento que se utiliza para involucrar + ≤ es válido).
Entonces, para esta orden total, no hay un único par (xi,xj)∈S2 tal que xi−xj es la mayor distancia entre el par de elementos de a S :
Desde S es finito y ≤ es total, el conjunto de {x−y,(x,y)∈S2} es finito por lo que tiene un elemento maximal xi−xj para algún par de (xi,xj)∈S2.
A continuación te mostramos es único : supongamos que hay es (xk,xl)∈V2 tal que (xi−xj)=(xk−xl).
A continuación,(xi−xj)+(xi−xj)=(xk−xl)+(xi−xj)=(xk−xj)+(xi−xl).
Desde (xi−xj) es máxima, (xk−xj)≤(xi−xj)(xi−xl)≤(xi−xj). Si cualquiera de los dos desigualdades eran muy estrictos, podríamos obtener la contradicción (x_i - x_j) + (x_i - x_j) < (x_i - x_j) + (x_i - x_j), por lo que han de ser la igualdad, lo que implica que (xk,xl)=(xi,xj).
Ahora, la hipótesis de S dice que la única pares de (xi,xj) tal que xi−xj es único, son los pares de (0,1)(1,0). Lo que implica que para cualquier orden total en V compatible con la adición, esta mayor distancia siempre es 1 o −1.
Así que solo tenemos que mostrar que si V≠Q, no debe existir total de pedidos ≤ V de manera tal que la distancia más grande para ≤ no 1 o −1 :
Desde S genera V, e (x1=1) es gratis, podemos agregar elementos de S (x1)para formar una base (e1,…,em)=(xi1,…,xim−1,x1)V.
Elegir el orden lexicográfico inducida por esta base. Es caracterised por la propiedad de que la 0 < \sum a_i e_i si y sólo si el primer coeficiente distinto de cero es positivo.
En particular, (xi1−x0)=xi1>±x1=±(x1−x0)=±1, de modo que ni 1 ni −1 puede ser la mayor distancia para ≤.Definir una aplicación lineal de f:V→Rf(1)=1f(xik)=πk. Desde π es trascendental, este mapa f es inyectiva. Elegir el orden definido por x≤y⇔f(x)≤Rf(y) donde ≤R es el orden usual en R. Pero luego, desde el f(xi1)>Rf(x1), hemos vuelto a (xi1−x0)=xi1>±x1=±(x1−x0)=±1.