Subconjunto de $\mathbb{Q}$

Question

Que $S= \{x_0,\dots,x_n\}$ ser un subconjunto finito de $[0,1]$, $x_0=0$ y $x_1=1$ tal que cada distancia entre pares de elementos de $S$ se produce por lo menos dos veces, excepto para el % de distancia $1$, entonces estamos para ver que $S$ es un subconjunto de $\mathbb{Q}$.

Answer 1

Deje $V$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial generado por $S$ y deje $\leq$ ser cualquier orden total en $V$ compatible con la adición (forall $x,y,z \in V$ si $x \leq y$$x+z \leq y+z$, y, más en general, cualquier razonamiento que se utiliza para involucrar $+$ $\leq$ es válido).
Entonces, para esta orden total, no hay un único par $(x_i,x_j) \in S^2$ tal que $x_i - x_j$ es la mayor distancia entre el par de elementos de a $S$ :

Desde $S$ es finito y $\leq$ es total, el conjunto de $\{x-y, (x,y)\in S^2\}$ es finito por lo que tiene un elemento maximal $x_i - x_j$ para algún par de $(x_i,x_j) \in S^2$.
A continuación te mostramos es único : supongamos que hay es $(x_k,x_l) \in V^2$ tal que $(x_i - x_j) = (x_k - x_l)$.
A continuación,$(x_i - x_j) + (x_i - x_j) = (x_k - x_l) + (x_i - x_j) = (x_k - x_j) + (x_i - x_l)$. Desde $(x_i - x_j)$ es máxima, $(x_k - x_j) \leq (x_i - x_j)$$(x_i - x_l) \leq (x_i - x_j)$. Si cualquiera de los dos desigualdades eran muy estrictos, podríamos obtener la contradicción $(x_i - x_j) + (x_i - x_j) &lt (x_i - x_j) + (x_i - x_j)$, por lo que han de ser la igualdad, lo que implica que $(x_k,x_l) = (x_i,x_j)$.

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Ahora, la hipótesis de $S$ dice que la única pares de $(x_i,x_j)$ tal que $x_i-x_j$ es único, son los pares de $(0,1)$$(1,0)$. Lo que implica que para cualquier orden total en $V$ compatible con la adición, esta mayor distancia siempre es $1$ o $-1$.

Así que solo tenemos que mostrar que si $V \neq \mathbb{Q}$, no debe existir total de pedidos $\leq$ $V$ de manera tal que la distancia más grande para $\leq$ no $1$ o $-1$ :

Desde $S$ genera $V$, e $(x_1 = 1)$ es gratis, podemos agregar elementos de $S$ $(x_1)$para formar una base $(e_1, \ldots, e_m) = (x_{i_1}, \ldots, x_{i_{m-1}},x_1)$$V$.

• Elegir el orden lexicográfico inducida por esta base. Es caracterised por la propiedad de que la $0 &lt \sum a_i e_i$ si y sólo si el primer coeficiente distinto de cero es positivo.
  En particular, $(x_{i_1} - x_0) = x_{i_1} > \pm x_1 = \pm (x_1 - x_0) = \pm 1$, de modo que ni $1$ ni $-1$ puede ser la mayor distancia para $\leq$.

• Definir una aplicación lineal de $f : V \to \mathbb{R}$$f(1) = 1$$f(x_{i_k}) = \pi^k$. Desde $\pi$ es trascendental, este mapa $f$ es inyectiva. Elegir el orden definido por $x \leq y \Leftrightarrow f(x) \leq_\mathbb{R} f(y)$ donde $\leq_\mathbb{R}$ es el orden usual en $\mathbb{R}$. Pero luego, desde el $f(x_{i_1}) >_\mathbb{R} f(x_1)$, hemos vuelto a $(x_{i_1} - x_0) = x_{i_1} > \pm x_1 = \pm (x_1 - x_0) = \pm 1$.