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Subconjunto de Q

Que S={x0,,xn} ser un subconjunto finito de [0,1], x0=0 y x1=1 tal que cada distancia entre pares de elementos de S se produce por lo menos dos veces, excepto para el % de distancia 1, entonces estamos para ver que S es un subconjunto de Q.

6voto

Michael Steele Puntos 345

Deje V Q- espacio vectorial generado por S y deje ser cualquier orden total en V compatible con la adición (forall x,y,zV si xyx+zy+z, y, más en general, cualquier razonamiento que se utiliza para involucrar + es válido).
Entonces, para esta orden total, no hay un único par (xi,xj)S2 tal que xixj es la mayor distancia entre el par de elementos de a S :

Desde S es finito y es total, el conjunto de {xy,(x,y)S2} es finito por lo que tiene un elemento maximal xixj para algún par de (xi,xj)S2.
A continuación te mostramos es único : supongamos que hay es (xk,xl)V2 tal que (xixj)=(xkxl).
A continuación,(xixj)+(xixj)=(xkxl)+(xixj)=(xkxj)+(xixl). Desde (xixj) es máxima, (xkxj)(xixj)(xixl)(xixj). Si cualquiera de los dos desigualdades eran muy estrictos, podríamos obtener la contradicción (x_i - x_j) + (x_i - x_j) &lt (x_i - x_j) + (x_i - x_j), por lo que han de ser la igualdad, lo que implica que (xk,xl)=(xi,xj).


Ahora, la hipótesis de S dice que la única pares de (xi,xj) tal que xixj es único, son los pares de (0,1)(1,0). Lo que implica que para cualquier orden total en V compatible con la adición, esta mayor distancia siempre es 1 o 1.

Así que solo tenemos que mostrar que si VQ, no debe existir total de pedidos V de manera tal que la distancia más grande para no 1 o 1 :

Desde S genera V, e (x1=1) es gratis, podemos agregar elementos de S (x1)para formar una base (e1,,em)=(xi1,,xim1,x1)V.

  • Elegir el orden lexicográfico inducida por esta base. Es caracterised por la propiedad de que la 0 &lt \sum a_i e_i si y sólo si el primer coeficiente distinto de cero es positivo.
    En particular, (xi1x0)=xi1>±x1=±(x1x0)=±1, de modo que ni 1 ni 1 puede ser la mayor distancia para .

  • Definir una aplicación lineal de f:VRf(1)=1f(xik)=πk. Desde π es trascendental, este mapa f es inyectiva. Elegir el orden definido por xyf(x)Rf(y) donde R es el orden usual en R. Pero luego, desde el f(xi1)>Rf(x1), hemos vuelto a (xi1x0)=xi1>±x1=±(x1x0)=±1.

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