Ecuaciones con factoriales

Question

Resuelve la siguiente ecuación : $$4 (x+1)!= x! (2 x-6)!$$ Mi turno: $$24(x+1)!=6 x! (2x-6)!$$ $$4!(x+1)!=3!x!(2x-6)!$$ $$\frac{(x+1)!}{3!x!}=\frac{(2x-6)!}{4!}$$ Intenté obtener una fórmula de una permutación en ambos lados pero no pude hacerlo

Answer 1

Llevando a $x!$ a la izquierda da $\frac{4(x+1)!}{x!} = (2x - 6)! \implies 4x + 4 = (2x-6)!$ . Tenga en cuenta que $(2x-6)!$ es un múltiplo de $4$ , por lo que esto obliga a $2x - 6 \geq 4$ ya que ningún otro factorial menor es múltiplo de $4$ .

Por último, hay que tener en cuenta que $2x - 6 = 4 \implies x = 5$ funciona, así que tenemos una solución. No hay otra solución, porque si $x > 5$ y $4x + 4 < (2x - 6)!$ entonces $$4(x+1) + 4 = 4x + 8 < (4x+4)(2x-5)(2x-4) < (2(x+1) - 6)!$$

donde la desigualdad media es obvia por el hecho de que $\frac{4x+8}{4x+4} = 1+\frac{4}{4x+4}$ que es menor que $2$ si $x >1$ y el producto de $2x - 5$ y $2x - 4$ es, por supuesto, al menos $2$ si $x > 3$ . En consecuencia, por inducción no hay solución para $x > 5$ (caso base fácilmente verificable) y claramente , para $2x - 6 \geq 0$ debemos tener $x \geq 3$ y se ve que $x = 3,4$ no funcionan.

Answer 2

Este $$\frac{(x+1)!}{3!x!}=\frac{(2x-6)!}{4!}$$ se reescribe como $$\frac{(x+1)x!}{3!x!}=\frac{(2x-6)!}{4!}$$ o incluso más $$\frac{(x+1)x!}{3!x!}=\frac{(2x-6)!}{4 \cdot 3!}$$ le dará \begin{equation} x+1 = \frac{1}{4} (2x - 6)! \end{equation} que es válido para $x = 5$ .