$n^3+n<3^n$ para$n \geq4$ por inducción.

Question

Para demostrar que$n^3+n<3^n$ para$n \geq4$ por inducción.

He demostrado el hecho, pero se hizo muy largo y tengo que usar dos pruebas de inducción más dentro de la prueba.

¿Alguien puede dar una mejor solución por inducción?

Gracias.

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Answer 1

Por lo que hiciste, es suficiente mostrar que$3k^2+3k+2\le 2\cdot 3^k$ para$k\ge 4$. Parece complicado comparar el polinomio y el exponencial directamente, así que, en cambio, veamos si podemos mostrar que$3k^2+3k+2\le 2\cdot(k^3+k)$, lo que hará el trabajo.

Para esto, tenga en cuenta que$3\le(k-1)$, desde$k\ge4$, por lo que$3k^2+3k+2\le (k^3-k^2)+(k^2-k)+2$, y listo, con espacio de sobra.

Answer 2

Según indicó @Andrés, basta para probar que $$ 3k ^ 2 +3 k + 2 0. $$ Reescribir esto como $$ (k-1)(2k^2-k-2)-4 > 0. $$ Mediante el estudio de la cuadrática, cuando $k \geqslant 4$, tenemos $$ \mathrm{RHS}\geqslant 3\times (2\times 16 -4-2) = 3\times -4 26 -4 > 0, $$ por lo tanto, el paso de inducción. Esto no puede ser la manera más fácil, pero es el directo, creo.

Answer 3

Paso inductivo:

Asumir $n^3+n\lt3^n$.

$(n+1)^3+(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+n+1=(n^3+n)+3n^2+2n+2\lt3^n+3n^2+3n+2=3^n(1+3^{1-n}n^2+3^{-n}\cdot2)\lt3^n(1+\frac{n^2}{3^{n-1}}+1)\lt3^n(3)=3^{n+1}$, porque $n^2\lt3^{n-1}$ $n\ge4$.

(La última desigualdad es fácil de demostrar).

Answer 4

$n^3 + n < 3^n \tag 1$

ciertamente válida para $n = 4$; por lo que este será el caso base; suponiendo que (1) se une para algunos $n$, luego

$3(n^3 + n) < 3^{n + 1}; \tag 2$

ahora,

$(n + 1)^3 + (n + 1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n + 1 = n^3 + 3n^2 + 4n + 2, \tag 3$

y

$3(n^3 + n) = 3n^3 + 3n, \tag 4$

así que lo que necesitamos es

$n^3 + 3n^2 + 4n + 2 \le 3n^3 + 3n, \; n \ge 4; \tag 5$

esto es cierto si

$3n^3 + 3n - n^3 - 3n^2 - 4n - 2 = 2n^3 - 3n^2 -n - 2 \ge 0, \; n \ge 4; \tag 6$

ahora, como nuestro colega xbh ha observado,

$2n^3 - 3n^2 - n - 2 = (n - 1)(2n^2 - n - 2) - 4; \tag 7$

tenemos

$n \ge 4 \Longrightarrow n - 1 \ge 3; \tag 8$

también tenemos

$n \ge 4 \Longrightarrow 2n^2 - n - 2 = n^2 + n(n - 1) - 2 \ge 16 + 4 \cdot 3 - 2 = 26; \tag 9$

por lo tanto,

$n \ge 4 \Longrightarrow 2n^3 - 3n^2 - n - 2 \ge 3 \cdot 26 - 4 = 74; \tag{10}$

vemos que (6) se une, lo que hace (5), por lo tanto la inducción es completa, y (1) tiene para todos los $n \ge 4$.