¿cuál sería el valor del determinante de una matriz si cambiara una entrada específica?

Question

¿Cuál será el valor del determinante de la matriz $A=\pmatrix{1&3&4\\5&2&a\\6&-2&3}$ será el cambio si nosotros cambiamos $a$ a $a+2$ .

Este es un problema fácil porque $|A|=-127+20a$ y si lo hiciéramos cambiando, obtendríamos $-87+20a$ . Mi pregunta es:

¿Podemos hacer esta petición de otra manera? ¿Dónde está la $+40$ ¿vienen de las entradas enteras de la matriz? Gracias

Answer 1

El determinante, es después de todo un multilineal en los vectores columna / fila.

Por lo tanto, $$\det\begin{pmatrix} 1&3&4 \\ 5&2&(a+2) \\6&-2&3 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1&3&4 \\ 5&2&a \\6&-2&3 \end{pmatrix} +\det\begin{pmatrix} 1&3&0 \\ 5&2&2 \\6&-2&0 \end{pmatrix}$$

• ¿El determinante de la segunda matriz es?

• Si cambiara $2$ a $3$ o $4$ o $b$ ¿la respuesta sería?

Answer 2

Expanda el$|A|$ a lo largo de la columna 3.

\begin{align} |A|&= \begin{vmatrix} 1&3&4\\ 5&2&a\\ 6&-2&3 \end {vmatrix} \\ & = 4 \begin{vmatrix} 5&2\\ 6&-2 \end {vmatrix} -a \begin{vmatrix} 1&3\\ 6&-2 \end {vmatrix} +3 \begin{vmatrix} 1&3\\ 5&2 \end {vmatrix} \\ & = 4 (-22) -a (-20) +3 (-13) \\ & = - 127 +20a \ end {align}

Answer 3

La propiedad de la matriz (en general, para cualquier tamaño$n\times n$): $$\begin{vmatrix} a+b&c+d \\ e&f \end {vmatrix} = \begin{vmatrix} a&c \\ e&f \end {vmatrix} + \begin{vmatrix} b&d \\ e&f \end {vmatrix}; \\ \begin{vmatrix} a+b&c \\ d+e&f \end {vmatrix} = \begin{vmatrix} a&c \\ d&f \end {vmatrix} + \begin{vmatrix} b&c \\ e&f \end {vmatrix};$$ Por lo tanto: $$\begin{vmatrix} 1&3&4 \\ 5&2&(a+2) \\6&-2&3 \end {vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&3&c+(4-c) \\ 5&2&a+2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\6&-2&d+(3-d) \end {vmatrix} = \\ \begin{vmatrix} 1&3&c \\ 5&2&a \\6&-2&d \end {vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&3&4-c \\ 5&2&2 \\6&-2&3-d \end {vmatrix}$$ Para calcular fácilmente el determinante, puede crear tantos ceros como sea posible (especialmente en filas / columnas).

Answer 4

+40 proviene del cofactor del elemento A(2,3). Se calcula como: $$C_{2,3} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 6 & -2 \end{vmatrix} = 20$$ Cuando se multiplica con $2$ se convierte en 40.