¿Cuál es $5n^2+14n+1$ un cuadrado perfecto?

Question

Este cuadrática específica surgió como parte de un rompecabezas, pero el contexto no es realmente importante. Sólo tengo que encontrar todos los números enteros positivos $n$ donde $5n^2+14n+1$ es un cuadrado perfecto.

Por desgracia, yo no soy realmente un número teórico y no sé lo suficiente "trucos" para hacer este trabajo. La única trucos que conozco son para cualquiera (a) reconocer esto como una ecuación de Pell variante, o b) representar a la cuadrática como la suma de dos cuadrados perfectos, y de alguna manera el uso del teorema de Euclides sobre ternas Pitagóricas.

No creo que esta es una ecuación de Pell variante, o si lo es, no veo cómo. Al completar el cuadrado consigue $5(n+\frac{7}{5})^2 - \frac{44}{5}$ que no parece útil como el interior de la plaza no es un entero.

Del mismo modo yo no veo cómo la ven como una suma de dos cuadrados, como 5 es sólo la suma de dos cuadrados en una manera ... $1^2+2^2$ -- y, a continuación, las dos plazas tendría que ser de la forma $(2n+a)^2 + (n+b)^2$, y por lo $a^2+b^2=1$, y $(a,b)=(1,0)$ o $(a,b)=(0,1)$, ninguno de los cuales trabajo.

Así que estoy un poco perdida, y agradecería cualquier tipo de sugerencia.

Answer 1

Si usted desea entender esto, por ejemplo, por qué hay seis órbitas, recomiendo este nuevo libro, Weissman, Ilustrada de la Teoría de Números, que le dice cómo dibujar los Conway topograph.

Su Pell variante viene de $$ (5n+7)^2 - 5 m^2 = 44. $$

My program calls it $w^2 - 5 v^2 = 44.$

There are several orbits for this. You want the ones where $w \equiv 2 \pmod 5,$ so they end in a $2$ or a $7.$ There are infinitely many, it will take some time to describe a recurrence. Anyway, given such a $w,$ then take $$ n = \frac{w - 7}{5} \; \; . $$

Alright, there are six distinct orbits of successful $w.$ In each case, we get a linear recurrence from

$$ \color{blue}{ w_{k+2} = 322 w_{k+1} - w_k} $$ $$ (A).....7, \; 1487, \; 478807, \; 154174367,... $$ $$ (B).....17, \; 5257, \; 1692737, \; 545056057,... $$ $$ (C).....32, \; 10192, \; 3281792, \; 1056726832,... $$ $$ (D).....112, \; 36032, \; 11602192, \; 3735869792,... $$ $$ (E).....217, \; 69857, \; 22493737, \; 7242913457,... $$ $$ (F).....767, \; 246967, \; 79522607, \; 25606032487,... $$

The matching sequences of $n_k$ satisfy

$$ \color{blue}{ n_{k+2} = 322 n_{k+1} - n_k + 448} $$ Por ejemplo, la primera órbita de $n$ contiene en realidad $0,$ no positivo todavía bastante: $$ (A).....0, \; 296, \; 95760, \; 30834872,... $$ $$ (B).....2, \; 1050, \; 338546, \; 109011210,... $$ $$ (C).....5, \; 2037, \; 656357, \; 211345365,... $$ $$ (D).....21, \; 7205, \; 2320437, \; 747173957,... $$ $$ (E).....42, \; 13970, \; 4498746, \; 1448582690,... $$ $$ (F).....152, \; 49392, \; 15904520, \; 5121206496,... $$

I ran a separate thing to just report the first 24 values of $n,$ a fin de, en lugar de seis familias:

0
2
5
21
42
152

296
1050
2037
7205
13970
49392

95760
338546
656357
2320437
4498746
15904520

30834872
109011210
211345365
747173957
1448582690
5121206496

==========================================================

jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental
  Automorphism matrix:  
    9   20
    4   9
  Automorphism backwards:  
    9   -20
    -4   9

  9^2 - 5 4^2 = 1

 w^2 - 5 v^2 = 44

Sun Sep 10 15:48:48 PDT 2017

w:  7  v:  1 ratio: 7  SEED   KEEP +- 
w:  8  v:  2 ratio: 4  SEED   KEEP +- 
w:  13  v:  5 ratio: 2.6  SEED   KEEP +- 
w:  17  v:  7 ratio: 2.42857  SEED   BACK ONE STEP  13 ,  -5
w:  32  v:  14 ratio: 2.28571  SEED   BACK ONE STEP  8 ,  -2
w:  43  v:  19 ratio: 2.26316  SEED   BACK ONE STEP  7 ,  -1
w:  83  v:  37 ratio: 2.24324
w:  112  v:  50 ratio: 2.24
w:  217  v:  97 ratio: 2.23711
w:  293  v:  131 ratio: 2.23664
w:  568  v:  254 ratio: 2.23622
w:  767  v:  343 ratio: 2.23615
w:  1487  v:  665 ratio: 2.23609
w:  2008  v:  898 ratio: 2.23608
w:  3893  v:  1741 ratio: 2.23607
w:  5257  v:  2351 ratio: 2.23607
w:  10192  v:  4558 ratio: 2.23607
w:  13763  v:  6155 ratio: 2.23607
w:  26683  v:  11933 ratio: 2.23607
w:  36032  v:  16114 ratio: 2.23607
w:  69857  v:  31241 ratio: 2.23607
w:  94333  v:  42187 ratio: 2.23607
w:  182888  v:  81790 ratio: 2.23607
w:  246967  v:  110447 ratio: 2.23607
w:  478807  v:  214129 ratio: 2.23607
w:  646568  v:  289154 ratio: 2.23607
w:  1253533  v:  560597 ratio: 2.23607
w:  1692737  v:  757015 ratio: 2.23607
w:  3281792  v:  1467662 ratio: 2.23607
w:  4431643  v:  1981891 ratio: 2.23607
w:  8591843  v:  3842389 ratio: 2.23607
w:  11602192  v:  5188658 ratio: 2.23607
w:  22493737  v:  10059505 ratio: 2.23607
w:  30374933  v:  13584083 ratio: 2.23607
w:  58889368  v:  26336126 ratio: 2.23607
w:  79522607  v:  35563591 ratio: 2.23607

Sun Sep 10 15:50:49 PDT 2017

 w^2 - 5 v^2 = 44

jagy@phobeusjunior:~$ 

Answer 2

PISTA.-otro método es dado por el hecho de que, por ejemplo, $$5n^2+14n+1=(2n+1)^2+(n+5)^2-5^2$$ so you want that $% $ $(2n+1)^2+(n+5)^2=5^2+w^2$

La solución general de la ecuación de $x^2+y^2=z^2+w^2$ está dada por la parametrización bastante conocido con cuatro parámetros $$x=tX+sY\y=tY-sX\z=tX-sY\w=tY+sX$ $

Lo que tienes que hacer si quieres probar de esta manera es enviar los parámetros arbitrarios en el caso general a la siguiente restricción:

$$\begin{cases}tX+sY=2n+1\tY-sX=n+5\tX-sY=5\end{cases}$ $ (Esto no es inmediato!)

Answer 3

Para estas ecuaciones se utiliza el enfoque estándar. De una forma cuadrática privada: $$Y^2=aX^2+bX+1$ $

Utilizando las soluciones de la ecuación de Pell: $$p^2-as^2=1$ $

Soluciones pueden expresarse a través de ellos es bastante simple.

$$Y=p^2+bps+as^2$$

$$X=2ps+bs^2$$

$p,s$ - Estos números pueden tener cualquier signo.

Encontrar soluciones de ecuaciones de Pell - procedimiento estándar.