Continuidad de $\delta$ en la definición de continuidad

Question

Cuando yo estaba en la ducha esta mañana una pregunta pasó por mi cabeza acerca de la continuidad de una función en un punto. La simple formulación de esta pregunta es:

Deje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una desenfrenada función continua con $f(0) = 0$. Definir $\delta_f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ por $$\delta_f(\varepsilon) = \sup \{ \delta > 0\, :\, |x|< \delta \Rightarrow |f(x)| < \varepsilon \}$$ Bajo qué condiciones es $\delta_f$ una función continua de la $\varepsilon$?

La respuesta a esto probablemente implica la monotonía; por ejemplo, parece que $\delta_f$ es continua siempre que $f$ es estrictamente monótona. Me gustaría encontrar (si es posible) a los más débiles en la condición de $f$ hacer $\delta_f$ continuo.

Mi corazonada es que la respuesta es que el $\delta_f$ es continua si y sólo si $|f| : \mathbb{R} \to [0,\infty)$ es estrictamente monótona, pero espero contraejemplos con los brazos abiertos.

De manera más general, la pregunta puede ser formulada de la siguiente manera:

Deje $f : V \to W$ ser un continuo y sin límites de la función entre la normativa de los espacios con $f(0_V) = 0_W$. Definir $\delta_f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ por $$\delta_f(\varepsilon) = \sup \{ \delta > 0 \, :\, \lVert x \rVert < \delta \Rightarrow \lVert f(x) \rVert < \varepsilon \}$$ Bajo qué condiciones es $\delta_f$ una función continua de la $\varepsilon$?

Mi objetivo final es demostrar que $\delta_f$ es continua si y sólo si $\lVert f \rVert : V \to [0, \infty)$ es estrictamente monótona, o para encontrar un contraejemplo.

Answer 1

La función de $\delta$ puede ser definido de la siguiente manera. Para cada $x\geqslant 0$, vamos a $F(x)=\sup\{|f(z)|\,;|z|\leqslant x\}$. A continuación, $\delta(0)=0$ y, para cada $t\gt0$, $\delta(t)=\sup\{x\gt0\,;\forall z\lt x, F(z)\lt t\}$. Uno ve que la pregunta que realmente le preocupa a la función no decreciente $F$ definido en $[0,+\infty)$.

La función de $\delta:t\mapsto\delta(t)$ se define en $[0,+\infty)$ y continua por la izquierda en $(0,+\infty)$. Deje $t\geqslant0$. La función de $\delta$ es continua por la derecha en a $t$ si y sólo si $F$ es estrictamente creciente en el derecho, en $t$, es decir, si y sólo si $F(s)\gt F(t)$ por cada $s\gt t$.

Ahora, $F$ siempre es no decreciente y $F$ es creciente si y sólo si la función de $g$ definido en $[0,+\infty)$ $g(x)=\max\{|f(x)|,|f(-x)|\}$ por cada $x\geqslant 0$, está en aumento.

La correspondiente condición necesaria y suficiente, en el caso general es que el $g$ es el aumento de donde, para cada $x\geqslant0$, $g(x)=\sup\{|f(z)|\,;\|z\|=x\}$.