Estrategias para sumar números armónicos

Question

Últimamente, he encontrado varios problemas interesantes que involucran números armónicos como \begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^{(2)}}{n^2}=\frac{7\pi^4}{360}\end {ecuación *}. No estoy familiarizado con las sumas de cálculo que involucran números armónicos. ¿Existe una estrategia general para abordar estos problemas?

¿Cómo se puede evaluar esta serie al operar en la función generadora para$H_n^{(2)}$?

Answer 1

Puede evaluarlo sin usar funciones generadoras.

ps

Al cambiar el orden de la suma, puede escribirlo como sigue:

ps

Por lo tanto,$$S=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{(2)}}{n^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2k^2}$.

En general, para cualquier secuencia$$\begin{align}S &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=k}^{\infty}\frac{1}{n^2k^2}\\&= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\left(\sum\limits_{n=k}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)\\&= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} - \sum\limits_{n=1}^{k-1}\frac{1}{n^2}\right) \\&= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\left(\zeta(2) - \sum\limits_{n=1}^{k-1}\frac{1}{n^2}\right)\\&= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\left(\zeta(2) + \frac{1}{k^2} - H_k^{(2)}\right)\\&= \zeta(2)\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4} - \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(2)}}{k^2} \\&= \zeta^2(2)+\zeta(4) - S\end{align}$ tal que$\displaystyle S = \frac{\zeta^2(2)+\zeta(4)}{2}$ converja absolutamente,

Tenemos$(a_n)_{n \ge 1}$ $ usando el mismo método que el anterior.