Raíces cuadradas impares y pares de$z^2-1$

Question

Este es un ejercicio muy interesante (siempre que sea correcto).

Encuentre dos funciones holomórficas$\,f_1: \Omega_1\to\mathbb C$ y$f_2:\Omega_2\to\mathbb C$, que son ambas raíces cuadradas de$z^2-1$, con dominios máximos (es decir, no pueden extenderse más analíticamente), y$f_1$ es par mientras$f_2$ es impar.

La parte más interesante es que$f_2$ es una función impar, y por lo tanto, no se puede considerar como una composición de$\sqrt{}$ y$z^2-1$, ¡lo cual es par!

Answer 1

Es correcto.

Sugerencia: si sigues una ramificación de$\sqrt{z^2-1}$ a lo largo de un círculo pequeño alrededor de uno de los puntos de ramificación, cuando completas el círculo, tienes el valor negativo de ese con el que comenzaste. Si aumenta el círculo, hasta que rodee ambos puntos de ramificación, ...

$\Omega_1 = \mathbb{C}\setminus ((-\infty,-1]\cup [1,\infty))$ y$\Omega_2 = \mathbb{C}\setminus [-1,1]$.