Demuestre por inducción la desigualdad:$\ln(1+n)\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\leq1+\ln(n)$

Question

Algo atrapado en este. Intenté restar$$\ln(1+(n+1))\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}+\frac{1}{n+1}\leq1+\ln(n+1)$ $ a la desigualdad original y aplicar las propiedades de los logaritmos, pero luego no sé cómo seguir: /

Answer 1

Para el paso de inducción, es suficiente mostrar que $$ \ log \ left (1+ \ frac {1} {n +1} \ right) \ leq \ frac {1} {n +1} \ leq \ log \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) = - \ log \ left (1- \ frac {1} {n +1} \ right). $$

Ahora recuerde que el gráfico de$\log(1+x)$ está debajo del gráfico de$x$ por concavidad de$\log$.