Varias acciones del grupo de Weyl

Question

Usando la notación de mi pregunta anterior, vamos a $N(T)$ denotar el normalizador de la máxima torus $T$ y, por tanto, el grupo de Weyl $W(G,T) = N(T)/T$.

Aquí creo que de las raíces de $\alpha$ como mapas $T \rightarrow GL(g_\alpha)$ donde $g_\alpha$ es el correspondiente a la raíz del espacio. Entonces puedo ver que el grupo de Weyl tiene un permuting acción en las raíces de comprar la conjugación de sus argumentos, pero no parece ser algunas de las distintas maneras de extender esta acción no triviales implicaciones que yo no puedo entender muy bien.

• Pero es algo más fuerte verdad acerca de la acción anterior? - como en cualquier raíz de $\alpha$ no parece existir una $s_\alpha \in W(G,T)$ que corrige $ker(\alpha)$ - ¿qué es una acción?

• ¿Cuál es la acción de $W(G,T)$$t$ ? (..que corrige el Stiefel diagrama del grupo que consiste de los conjuntos de $exp^{-1}(ker(\alpha))$..son estos hyperplanes en $t$?..por qué?..)

• Deje $R(T)$ ser la representación anillo de $T$. ¿Cuál es la acción de $W(G,T)$$R(T)$? El punto es que si pienso en lo obvio de la conjugación de la acción de $W(G,T)$ sobre los argumentos de $R(T)$ (..mediante la conjugación de los argumentos..), a continuación, todos los elementos en $R(T)$ parecen ser $W(G,T)$-estable.

Pero parece que a partir de la literatura que, si uno se restringe a los elementos de la representación anillo de $G$ a de $T$ a continuación, la imagen se encuentra en la $W(G,T)$ subespacio invariante de $R(T)$ - que no parece nada especial, ya que por la conjugación de la acción, todo en $R(T)$ $W(G,T)$ estable! Lo que me estoy perdiendo?

• Uno se define el "peso de la celosía" como esos pesos en $t^*$ que evaluar a los números enteros cuando se evaluó en la co-raíces de la simple raíces. Ahora parece que no es una acción natural para el grupo de Weyl en este peso celosía tal que la rejilla es invariante. ¿Qué es esta acción?

Answer 1

La acción de la $W(G,T)$ no es trivial en $R(T)$. Por ejemplo, considere el $G=U(n)$ con el estándar de torus $T$ de la diagonal de las matrices. A continuación, la representación anillo de $R(T)$ es isomorfo al polinomio anillo de $\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$ donde el unidimensional representación de $T$ peso $(d_1,\ldots,d_n)$ da el monomio $x_1^{d_1}\cdots x_n^{d_n}$. En esta situación el grupo de Weyl $W(G,T)$ es el grupo simétrico $S_n$, que actúa sobre el peso de la celosía por permuting de la forma habitual, y la inducida por la acción sobre la representación del anillo también es por permutación. La imagen del mapa de restricción $R(G)\to R(T)$ es isomorfo al espacio de $\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]^{S_n}$ de los polinomios simétricos, que contienen, por ejemplo, $\sum_{i=1}^nx_i$ pero no $x_1+x_3$.