Pregunta
Vamos $$S_k=\sum_{i=1}^k X_i$$ be the sum of $k$ independent random variables. I am interested in closed-form expressions of the pdf of $S_k$.
En general, el pdf está dada por la $k$veces la convolución de la probabilidad individual de las distribuciones que $$f_S=(f_1*\ldots*f_k)(s),$$ where $f_i$ is the probability distribution of the $i^{\rm th}$ variable aleatoria.
En particular, $S_k$ es el gamma-distribuido si el individuo variables aleatorias son de gamma-distribución con el mismo parámetro de escala.
¿Qué otras distribuciones que existen, que cumplen la misma propiedad, pero tiene al menos dos parámetros?
La motivación
Estoy realizando simulaciones que involucran una suma de variables aleatorias. La realización de las circunvoluciones numéricamente es demasiado costoso computacionalmente, es por eso que me gustaría saber más acerca de las distribuciones que se "auto-repetición" en virtud de la convolución.
Algunos pensamientos
Formalmente, podemos definir la función característica $\hat{f}(k;{\bf a})$ de una distribución de probabilidad $f(x;{\bf a})$ donde $\bf a$ es un conjunto de parámetros que caracterizan la distribución.
Por el teorema de convolución, el producto de las funciones características corresponde a la convolución de las distribuciones de probabilidad.
La familia de distribuciones de yo soy interesado en, por tanto, cumple $$\hat{f}(k;{\bf a})\times \hat{f}(k;{\bf b}) = \hat{f}(k;g({\bf a},{\bf b})),$$ where $g$ is an arbitrary function that is symmetric with respect to exchange of $\bf$ and $\bf b$.
Por desgracia, este formalismo no me ayudó a venir para arriba con una familia de distribuciones.
