¿Finito + surjectivo + proyectivo implica plano?

Question

Deje $f: X \rightarrow Y$ ser una de morfismos de irreductible variedades proyectivas, que es finito y surjective.

¿Significa esto que es plana?

He intentado lo siguiente:

Por la finitud, el mapa es localmente $\text{Spec}(B) \rightarrow \text{Spec}(A)$, es decir, $A \rightarrow B$ en los anillos, donde $B$ es un finitely generadas $A$-módulo. Por surjectiveness, va injectively en $B$. Ya que estamos tratando con varieites, $A$ $B$ son finitely generadas $k$-álgebras sin nilpotents. De hecho, desde las variedades son irreductibles, que no tiene divisores de cero.

Desde un módulo es plano sobre un anillo si y si para todos el primer ideales en el anillo, la localización de los módulos es plana por la localizadas anillo, nos llevaría a cabo si se podía demostrar que $B$ es plano sobre a $A$.

Aquí es donde mi conocimiento llega demasiado vagas. No podemos asumir $A$ a ser un PID derecho? Es cierto que vamos a necesitar exactamente para mostrar que $B$ es un acíclicos objeto en $A$-Mod de $\text{Tor}$? Por último, ¿alguien me puede decir cómo mostrar que $B$ es plano sobre a $A$, o me dicen que esto es malo?

Gracias!

Answer 1

No. Deje $C$ ser una curva proyectiva que sólo tiene una singularidad, un nodo. Luego de la normalización de mapa de $\tilde{C} \rightarrow C$ no es plana, sino que es finito y surjective.

Surjectivity es clara. La finitud es por la finitud de la normalización.

Si el mapa es plano, entonces como es plana y finito, todas las fibras deben tener el mismo tamaño, lo cual es falso aquí.

Yo creo que más en general, la normalización no es típicamente plana; pero no sé qué hipótesis que usted necesita para decir esto. Tal vez es cierto siempre que la variedad no es ya normal.

EDIT: he encontrado http://mathoverflow.net/questions/64776/flatness-of-normalization, por lo que al parecer esto es cierto siempre que la variedad no es ya normal.