Ideal en $C(X)$

Question

Sea $X$ un espacio compacto de Hausdorff, y $C(X)$ el espacio de funciones continuas de valores complejos con norma máxima.

El siguiente problema me está volviendo un poco loco. Quiero demostrar que todo Ideal cerrado $J\subset C(X)$ tiene la forma $J_Y = \{f\in C(X)| Y\subset f^{-1}(0)\}$ donde $Y\subset X$ es un conjunto cerrado. Parece que $Y=\bigcap_{f\in J}f^{-1}(0)$ es la única opción lógica. Entonces $J\subset J_Y$ es obvio, pero $J_Y\subset J$ no lo es tanto.

Me pareció lógico que si $f\in J$ entonces $J_{f^{-1}(0)} \subset J$, pero no puedo probarlo. Si esto fuera cierto, pensé en encontrar un $g\in J$ tal que $g^{-1}(0)=Y$ sería suficiente. Tal vez construyendo una secuencia de funciones $g_n\in J_n\subset J$ que sea 0 en algún $Y_n\supset Y$ y usando el hecho de que $J$ es cerrado para mostrar $g_n\to g\in J$.

¿Alguien tiene alguna sugerencia? Estoy un poco atascado.

Answer 1

Nótese que de alguna manera necesitamos usar que $J$ es un ideal cerrado en $C(X)$.

Sea $V$ abierto con $Y\subset V$. Para cualquier $t\in X\setminus V$, existe $g_t\in J$ con $g_t(t)\ne0$. Sea $h_t=|g_t|^2=\overline{g_t}\,g_t\in J$; entonces $h_t(t)>0$ en algún conjunto abierto $V_t$. Como $X\setminus V$ es compacto, existe una cobertura finita $V_{t_1},\ldots,V_{t_m}$; así que $g_1=\sum_{j=1}^m h_{t_j}\in J$, y $g_1(t)>0$ para todo $t\in X\setminus V$. Como $X\setminus V$ es compacto, existe un $k>0$ con $g_1(t)>k$ para todo $t\in X\setminus V$. Entonces la función $g_2:t\mapsto \frac1{g_1(t)}$ es continua en $X\setminus V$.

Ahora extendemos $g_2$ a todo $X$, usando Tietze, y aún lo llamamos $g_2$. Sea $g_V=g_1g_2\in J$ (ya que $g_1\in J$). La función $g_V$ tiene la propiedad de que $g_V=1$ en $X\setminus V$, $g_V=0$ en $Y$, y $|g_V|\leq1$.

Ahora sea $f\in J_Y$. Fijemos $\varepsilon>0$. Tenemos $f(y)=0$ para cada $y\in Y$, así que existen vecindades abiertas $V_y$ tales que $|f|<\varepsilon$ en $V_y$. Como $Y$ es compacto (subconjunto cerrado de un conjunto compacto), está cubierto por alguna elección finita de los $V_y$; la unión de éstos proporciona un abierto $V$ con $|f|<\varepsilon$ en $V$. Como $J$ es un ideal, $fg_V\in J$.

Para cualquier $t\in X\setminus V$, $|f(t)-f(t)g_V(t)|=0$ (ya que $g_V(t)=1$). Para $t\in V$, $$|f(t)-f(t)g_V(t)|<2|f(t)|<2\varepsilon$$ (ya que $|g_V|\leq1$ en todas partes y $|f|<\varepsilon$). Esto muestra que $$ \|f-fg_V\|<2\varepsilon. $$ Como podemos hacer esto para cualquier $\varepsilon>0$, hemos demostrado que $f$ pertenece a la clausura de $J$, es decir, $f\in J$. Entonces $J_Y\subset J$.

Lo que estamos haciendo aquí es un ejemplo explícito del hecho de que un ideal cerrado de un álgebra $C^*$ tiene una identidad aproximada cuasicentral (es decir, una unidad aproximada que es aproximadamente central para toda el álgebra).

Answer 2

Una forma muy limpia de demostrar esto es invocando el teorema de Stone-Weierstrass. Primero note que $J$ está cerrada bajo conjugación: si $f\in J$ y $\epsilon>0$ podemos tomar una función $g\in C(X)$ de norma $1$ que coincide con $\bar{f}/f$ en todas partes donde $|f|\geq\epsilon$. Entonces $\|gf-\bar{f}\|\leq 2\epsilon$ y $gf\in J$, y tomando $\epsilon\to 0$ concluímos que $\bar{f}\in J$.

Ahora dejemos que $A=\mathbb{C}+J$, el conjunto de funciones que pueden escribirse como una constante más un elemento de $J$. Cada elemento de $A$ es constante en el conjunto $Y$, y así podemos considerar naturalmente $A$ como una subálgebra de $C(X/Y)$, donde $X/Y$ es el espacio cociente obtenido identificando todos los elementos de $Y$ a un punto. Además, $A$ separa los puntos de $X/Y$. De hecho, si $x\in X\setminus Y$ podemos encontrar $f\in J$ tal que $f(x)\neq 0$, separando $x$ de $Y$, y si $x,y\in X\setminus Y$ son distintos entonces podemos encontrar $f\in J$ que no se anula en $x$ y luego multiplicar por $g\in C(X)$ que se anula en $y$ pero no en $x$ para obtener $fg\in J$ separando $x$ y $y$. Dado que $J$ está cerrada bajo conjugación, $A$ es por lo tanto una subálgebra unitaria cerrada * de $C(X/Y)$ que separa puntos y por lo tanto es todo $C(X/Y)$ por Stone-Weierstrass.

En otras palabras, cada función en $X$ que es constante en $Y$ puede escribirse como una constante más un elemento de $J$. En particular, cada función que se anula en $Y$ debe estar en $J$.