Doble integral (y para la zona delimitada por un lemniscate).

Question

a) Transformar en coordenadas polares y calcular la integral

$\int_\Omega ln(1+x^2+y^2)d(x,y)$

donde $\Omega$ es el interior del círculo unitario en el primer cuadrante.

b) $\Omega\subseteq R^2$ que es el subconjunto cerrado por la $Lemniscate$ $(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)$. Croquis $\Omega$ y calcular el volumen de $v_2(\Omega)$.

Aquí está mi enfoque de los:

a)en Primer lugar me transformó el general coordenadas en el círculo unidad en coordenadas polares. Ya que es el círculo unitario conseguí $(rcos(\phi),rsin(\phi)),r=1$. Miré la fórmula general para la integración en coordenadas polares y se puso a $\int_\Omega ln(1+x^2+y^2)rdrd\phi$. Ahora, en este momento yo no estoy tan seguro. ¿Estoy autorizado a usar la identidad de $cos^2(\phi)+sin^2(\phi)=1$ y conectarlo en el argumento de la ln? Como $\int_\Omega ln(2)rdrd\phi$?

b) Ahora no estoy seguro de cómo acercarse a este. Miré lo que un Lemniscate es, parece como si el infinito símbolo centrada alrededor del origen. Pero no sé cómo conseguir el volumen de la misma. Supongo que es una integral doble donde $f(x,y)=1$, pero no sé cómo configurar los límites de las integrales y si debo hacerlo en coordenadas cartesianas o polares.

Si alguien tenía algunos consejos o sugerencias acerca de estos me sería de gran aprecio.

Answer 1

$a)$ Una cosa que usted necesita saber por el corazón de esta transformación: $x^2+y^2=r^2$, por lo que el integrando se convierte en $\ln (1+r^2)$. También tenemos $dx\,dy=rdr\,dt$ (voy a utilizar $t$ en lugar de $\theta$ porque es más fácil para mí) Para calcular la integral en el círculo unidad, es necesario considerar no $r=1$ pero $r<1$ $0<t<2\pi$ (que deberían haber enseñado esto, sería muy difícil para mí explicar esta aquí el uso de sólo texto). Así que nuestra integral es:

$$\int^{2\pi}_0\int^1_0\ln(1+r^2)r\,dr\,dt$$

Sustituto $u=r^2$ $\frac{du}{2}=rdr$ y lo vamos a conseguir:

$$\int^{2\pi}_0 \frac12 \int^1_0\ln(1+u)\,du\,dt$$

Si integramos por partes, usted encontrará que la antiderivada de $\ln(u+1)=(u+1) \ln (u+1)-u$, y el conjunto de la integral resulta ser:

$$2\pi\ln2-\pi$$

$b)$ Voy a suponer que vamos a encontrar la superficie de la Lemniscate. Podemos dividir nuestra función en 4 partes iguales, sólo se calcula para el primer cuadrante, y se multiplica por 4.

Empezamos por la inserción de $x=r \cos t \, ,y=r \sin t$ en la ecuación de la Lemniscate. Vamos a conseguir:

$$r^4=4r^2(\cos ^2t-\sin ^2 t)=4r^2\cos (2t)$$

Queremos que la positiva $r$ valor, de modo que tenemos $r=2\sqrt{\cos(2t)}$. Por lo tanto, $r$$0$$r=2\sqrt{\cos(2t)}$.

También necesitamos el máximo de $t$ del valor. Debemos encontrar el ángulo de esta línea tangente:

Para encontrarlo, vamos a utilizar implícito derivado de la lemiscate evaluados en $(x,y)=(0,0)$. Que resulta ser $\pm1$. Estamos preocupados con el primer cuadrante, por lo que tomamos $+1$. El ángulo que hace la pendiente $+1$ $\arctan(1)=\pi/4$

La superficie de la integral es:

$$4\int^{\pi/4}_0\int^{2\sqrt{\cos(2t)}}_0 r\,dr\,dt$$

Puedo asumir que usted puede tomar desde aquí? La respuesta debe venir a ser $4$