¿Cuándo convergen los productos internos de las subsecuencias débilmente convergentes?

Question

Si tenemos 2 subsecuencias débilmente convergentes en$L^2(U)$ (para$U$ de un dominio abierto delimitado con límite uniforme),$u_k\rightharpoonup u$ y$v_k\rightharpoonup v$, bajo qué condiciones tenemos% #% ps

Puedo ver que si$$\langle u_k,v_k \rangle \to \langle u, v \rangle?$ fuertemente y$u_k \to u$ está limitado, entonces el resultado es el siguiente, pero no sé cuándo sería cierto si ambas convergencias son débiles.

¡Gracias!

Answer 1

Para ilustrar mejor el problema, restar fuera de los débiles límites, por lo que tiene dos débilmente null secuencias $u_k$, $v_k$. Supongo que no se estrechan fuertemente. Entonces ni $\|u_k\|$ ni $\|v_k\|$ tienden a $0$. Pero usted quiere tener $\langle u_k,v_k\rangle \to 0$, lo que significa que los vectores $u_k$ $v_k$ debe convertirse en casi ortogonal al $k$ es grande. No hay ninguna propiedad intrínseca de $u_k$ o de $v_k$ que va a hacer que eso suceda. Dos vectores son (casi) ortogonal cuando (casi) ortogonal; a decir algo menos tautológica, que realmente necesita alguna información específica acerca de cómo estas secuencias se construyen.

Answer 2

En general, esto es falso. Permita que$e_k$ sea una base ortonormal para su espacio de Hilbert, y tome$u_k = v_k = e_k$. Por la desigualdad de Bessel,$e_k \rightharpoonup 0$ pero$\langle e_k, e_k \rangle = 1$ para todos$k$.

Answer 3

El lema Div-Curl da ese$\int u_n v_n \rightarrow \int uv$ si cada secuencia converge débilmente, y la divergencia de una secuencia y la curvatura de la otra son precompactadas en$H^{-1}$.