Distribuir 11 calcetines en 4 cajones, con 5 calcetines rojos y 6 azules.

Question

Este es un problema que se me ocurrió mientras aprendía combinatoria, así que puede que se le escape algo.

Tienes 11 calcetines (5 rojos y 6 azules) y 4 cajones. ¿Cuál es el número de formas en que puedes distribuir 11 calcetines en 4 cajones?

Ahora bien, al hacer esto se me ocurrió utilizar la siguiente fórmula $$ x_1 + x_1' + x_2 + x_2' + x_3 + x_3' + x_4 + x_4' = 11 $$ siendo los primados el número de calcetines azules de cada cajón (hay cuatro, de ahí la numeración) y los otros el número de calcetines rojos de cada cajón. Entonces impongo las siguientes condiciones: $ x_1, x_2, x_3, x_4 \leq 5 $ y $ x_1' ,x_2', x_3', x_4' \leq 6 $ .

Pero entonces recuerdo que $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5 $ y $ x_1' + x_2' + x_3' + x_4' = 6 $ . Existe una fórmula que cuenta el número de formas de distribuir k objetos en n cajas, que puede utilizarse en esta situación: $$ \binom{n + k - 1}{k} $$

Por la regla del producto puedo llegar a la solución: $$ \binom{4 + 5 - 1}{5} \cdot \binom{4 + 6 - 1}{6} = 4704 $$

Entonces, ¿está bien definido el problema? ¿Es correcta la solución anterior? ¿Existe una solución más sencilla?

Answer 1

Divide el problema en dos partes y multiplica los resultados. Distribuye los 5 calcetines rojos en 4 cajones.

$$ n_R = C(n+k-1,k-1) = C(5+4-1,4-1) = C(8,3) $$

Ahora distribuye los 6 calcetines azules en 4 cajones.

$$ n_B = C(n+k-1,k-1) = C(6+4-1, 4-1) = C(9,3) $$

La solución debe ser el producto de los dos.

$$ n_T = n_R n_B = C(8,3)\cdot C(9,3) = 4704 $$

Answer 2

Estilo Polya.

Hagamos el inventario de los cuatro cajones. Un cajón puede contener $0..5$ calcetines rojos y $0..6$ calcetines azules.

$drawer(r,b) = (1+r+r^2+...r^5) . (1+b+b^2+...b^6)$

El armario tiene cuatro cajones.

$closet(r,b) = drawer(r,b)^4$

nos interesa el coeficiente o $r^5b^6$ del armario, que es $4704$ .

$[r^5b^6]closet(r,b) = 4704$