$$\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^{1.7 + \sin(n)}}$$
He intentado resolverlo, por cualquier método de convergencia, pero no he podido demostrar si la serie converge o diverge
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tratemos de ver el conjunto $\{ n \in \mathbb{N} : sin(n) < -0.8 \}$ . Es fácil ver que en general $sin(x)<-0.8$ si $$- 0.643+ 3\pi/2 + 2k\pi<x< 0.643 + 3 \pi /2+2k\pi;$$ en particular, los intervalos en los que esto se mantiene son siempre más largos que $2$ y así para cada $k$ hay un número natural $n_k$ que satisface esta desigualdad; en particular tenemos $2k\pi<n_k<2(k+1)\pi$ y $sin(n_k) < -0.8$ . Volviendo a nuestra suma podemos considerar sólo estos enteros:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1{ n^{1.7 + sin(n)}} \geq \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1{n_k^{1.7 + sin(n_k)}} \geq \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1{{(2(k+1)\pi)}^{0.9}} = \frac 1{(2\pi)^{0.9}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1{(k+1)^{0.9}} $$ y la última serie diverge por comparación con la serie armónica.
Obsérvese que esta prueba funciona también para $2-\epsilon$ en lugar de $1.7$ mientras el intervalo en el que $sin(x)<-(1-\epsilon)$ es más largo que $1$ . Pero aún así la suma diverge para cada $\epsilon>0$ , buscando la densidad del conjunto $\{ sin (n) \}$ en $[-1,1]$ .
