Secuencias exactas cortas de módulos

Question

Si tenemos las siguientes secuencias exactas de los módulos de $R-$

$0 \rightarrow M_1 \stackrel{f} \rightarrow N \stackrel{g} \rightarrow L_1 \rightarrow 0$

$0 \rightarrow M_2 \stackrel{h} \rightarrow N \stackrel{k} \rightarrow L_2 \rightarrow 0$

y sabemos que $k \circ f$ es un isomorfismo de R

¿Cómo podemos mostrar que $g \circ h$ es también un isomorfismo R?

Answer 1

Bueno, acabo de jugar con sus secuencias y aquí está mi solución parcial.

Debemos mostrar dos cosas. En primer lugar, que $\ker(g\circ h)=\{0\}$, y la segunda, que $g\circ h$ es surjective.

Para mostrar que $\ker(g\circ h)=\{0\}$ elegimos un elemento $x\in \ker(g\circ h)$, lo $(g\circ h)(x)=g(h(x))=0$, esto significa que $h(x)\in \ker(g)=\text{Im}(f)$, por lo que hay algunos $y\in M_1$ tal que $h(x)=f(y)$. La aplicación de $k$ a ambos lados obtenemos $k(h(x))=k(f(y))$, pero $h(x)\in \text{Im}(h)=\ker(k)$, lo $k(f(y))=k(h(x))=0$. Por hipótesis de $k\circ f$ es la iso, por lo tanto $y=0$ y esto nos da que $h(x)=f(y)=f(0)=0$. Desde $h$ es inyectiva, llegamos a la conclusión de que $x=0$, como se desee.

Para mostrar que $g\circ h$ es surjective, usted tiene que utilizar sus hipótesis y "jugar" como yo lo hice para probar que $\ker(g\circ h)=\{0\}$.