¿Podemos construir $\Bbb C$ sin antes identificar $\Bbb R$ ?

Question

A veces es útil considerar $\Bbb C$ como nuestro primitivo e identificar $\Bbb R$ como subconjunto de $\Bbb C$ . Así, podemos definir $\Bbb R$ (o al menos un conjunto con todas las propiedades interesantes de $\Bbb R$ ) de $\Bbb C$ .

Esto me sugiere que hay alguna manera de construir $\Bbb C$ sin construyendo primero (o tomando como primitiva) $\Bbb R$ . Sin embargo, nunca he visto tal construcción de $\Bbb C$ (una búsqueda rápida en Google tampoco me proporcionó ninguna). He visto muchas veces la construcción Cayley-Dickson y la construcción matricial, pero ¿son las únicas formas conocidas de construir $\Bbb C$ ?

Mi pregunta:

¿Hay alguna forma de construir el conjunto de los números complejos sin tener ya (o sin construir primero) los números reales?

Answer 1

Si quiere evitar $\Bbb R$ y sólo utilizar maquinaria general, una forma de hacerlo es utilizar $\Bbb Q(i)$ o cualquier extensión finita de $\Bbb Q$ que tiene cero incrustaciones reales. Esto se puede asegurar, por ejemplo, haciendo que la extensión sea ciclotómica. Entonces se sabe que existe una norma en el espacio vectorial $\Bbb Q(i)$ dada por

$$\lVert a+bi\rVert=|a|+|b|.$$

Es fácilmente verificable que es arquimediano--esto es útil porque te dará una copia de $\Bbb R$ como subconjunto cuando termine de hacer $\Bbb C$ . Ahora, puedes verificar que la suma, resta, multiplicación e inversión de elementos distintos de cero es continuo para que tengas un campo topológico.

Entonces, formando la terminación métrica y declarando que es $\Bbb C$ , usted tiene automáticamente que se trata de un campo debido a la continuidad de las operaciones de campo. Por lo demás, no es obvio que su conjunto de clases de equivalencia forme tal cosa.

Answer 2

Cualquier campo algebraicamente cerrado de característica $0$ con la misma cardinalidad que $\mathbb C$ es isomorfo (no canónico) a $\mathbb C$ . Esto permite construir muchos campos que son abstractamente isomorfos a $\mathbb C$ sin mirar nunca los números reales.

Por ejemplo, el cierre algebraico de $\mathbb Q_p$ es isomorfo a $\mathbb C$ . Sin embargo, ningún isomorfismo entre ellos es continuo, así que esto no es muy interesante si estás interesado en $\mathbb C$ como campo topológico.

Answer 3

Otro enfoque: empezar con el sembrado conmutativo $\mathbb{R}_{\geq 0}.$ Escribe:

1. $\mathbf{CSem}$ para la categoría de semirings conmutativos
2. $\mathbf{CRing}$ para la categoría de semirings conmutativos con un elemento distinguido $(-1)$ tal que $(-1)+1=0$ también conocida como categoría de anillos conmutativos.
3. $\mathbf{CRing}[i]$ para la categoría de semirings conmutativos con un elemento distinguido $i$ tal que $i^2+1=0$ .

(Todos mis semirings tienen un $0$ y un $1$ .)

Ahora hay un functor olvidadizo $U_\mathrm{I} : \mathbf{CRing} \rightarrow \mathbf{CSem}$ y otro $U_\mathrm{II} : \mathbf{CRing}[i] \rightarrow \mathbf{CSem}$ . Ambos han dejado colindantes. Al igual que $\mathbb{R}$ es la imagen de $\mathbb{R}_{\geq 0}$ bajo la unión a la izquierda de $U_\mathrm{I}$ de forma similar $\mathbb{C}$ es la imagen de $\mathbb{R}_{\geq 0}$ bajo la unión a la izquierda de $U_\mathrm{II}$ .

(Deberías comprobar que los detalles son los esperados, ya que yo no lo he hecho).