$n +1$ th Número de módulo de Fibonacci$n$

Question

El período de Pisano estudia el$n$ th número de Fibonacci$F_{n}$ modulo$n$. ¿Hay algo sobre$F_{n + 1} \pmod n$?

Answer 1

La secuencia de $F_{n + 1} \pmod n$ es lo suficientemente interesante como para haber sido añadido a la Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros, pero no lo suficientemente interesante como para su entrada a se han ampliado más allá de la mínimo: https://oeis.org/A002726

Sin embargo, su trama no indica ningún tipo de periodicidad: (registro-y) (lineal)

La trama indica una mayor densidad de puntos alrededor de $y=1$, $y={x\over2}$, $y={x\over3}$ y $y={2\over3} x$, pero la función se ve al azar, excepto por que. Las posiciones de los ceros y unos no indican mucho regularidad - a excepción de todos los ceros parecen estar en primeros puestos.

Nota, sin embargo, la secuencia de $F_n \pmod n$ que usted ha mencionado no muestran ningún sorprendente regularidad, a excepción de la densa líneas ya no son dos, $y=1$$y=x$: https://oeis.org/A002708 (la trama)

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El pisano período se define como el período de la secuencia de $F_n \pmod m$ - para cualquier fija $m$ esta secuencia es periódica con período de una función de $m$. Afirmó que, matemáticamente, $F_n \equiv F_{n+\pi(m)} \pmod m$ donde $\pi(m)$ es el Pisano secuencia.

Ref:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pisano_period
https://oeis.org/A001175

Answer 2

Si busca cierta regularidad en la secuencia, tiene eso para$p\ne 5$ prime:$$ F_{p+1} \operatorname{mod}p = \begin{cases} 1 \quad &\text{if the congruence } x^2 \equiv 5 \pmod{p}\text{ has a solution}\\0 \quad &\text{otherwise}\end{cases}$ $