¿Es cierto que la intersección de una secuencia $K_1 \supset K_2 \supset K_3 \dotsm$ de subconjuntos conectados de $\mathbb{R}^2$ también está conectada?

Question

Tengo un contraejemplo para esta: considerar la familia {D} de discos cerrados centrados en cero tener radio $1+1/n$, es decir, el disco $D_1$ tiene radio $1+1=2$, $D_2$ tiene radio $1+1/2=1.5$ y así sucesivamente. Ahora consideremos la familia {D'} de los conjuntos de la forma $D_i-{(0,y)\mid -1 \leq y \leq 1 }$. Cada uno de estos conjuntos está conectado pero no es su intersección arbitraria. ¿Es en este ejemplo es correcto? Si no se indique otro.

Answer 1

Este es otro ejemplo, que involucra conjuntos cerrados (pero no limitada). Que $A_n = (-1, 1) \times (-n, n)$. Que $B_n = \mathbb R^2 - A_n$. Se conecta cada $B_n$. Tenemos $$ \bigcap_n B_n = ((-\infty, -1] \times \mathbb R) \cup ([1, \infty) \times \mathbb R). $$

Por lo tanto, se desconecta $\bigcap_n B_n$.