discriminante de una cubierta de étale de una curva elíptica

Question

Que $\pi:X\to E$ sea un morfismo finito étale, donde $E$ es una curva elíptica sobre un campo número $K$. Asumir $X$ para conectarse y poder de género 1.

Edición: Asumir $X$ y $E$ tienen semi estable reducción $O_K$.

¿Es el discriminante mínimo de $X$ igual al mínima discriminante de $E$ multiplicada por $\deg \pi$?

Qué pasa si el género de $X$ es mayor que 1. (Esto no puede suceder por comentario de QiL abajo).

Answer 1

Si $E_1 \to E_2$ es un isogeny de curvas elípticas sobre un campo de número de $K$, luego $E_1$ $E_2$ tienen los mismos lugares de mala reducción, y así su mínima discriminantes son divisibles por el mismo de los números primos.

Como un ejemplo de cómo mínimo discriminantes puede cambiar bajo isogeny, considerar el mapa de $X_1(11) \to X_0(11)$ de curvas elípticas sobre $\mathbb Q$, que es una isogeny de grado $5$. Hasta es posible $\pm$ signos (que no recuerdo la parte superior de mi cabeza), el mínimo discriminante de $X_1(11)$$11$$X_0(11)$$11^5$.

En ambos casos, el conductor es el mismo (esta es una característica general de isogenous curvas elípticas) --- es decir $11$. El poder de la $11$ dividiendo el mínimo discriminante se refiere a la magnitud de la componente conectado grupo de la fibra de más de $11$ de la Nerón modelo. (Esta fibra está conectado por $X_1(11)$ --- en realidad es resultado general de Conrad, Edixhoven, y Stein que el Nerón del modelo de la Jacobiana de $X_1(p)$ $\mathbb Z$ se ha conectado fibra en $p$ para todos los números primos $p$ --- y tiene un grupo de componentes de la orden de $5$$X_0(11)$.)