¿Esta solución es correcta? Eigenvector problema.

Question

Encontrar los vectores propios de :$$\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$ Encontrar la ecuación característica, podemos escribir \begin{align*} det(A-\lambda I) &= 0 \\ \begin{vmatrix}-\lambda&1&0&0\\1&-\lambda&0&0\\0&0&-\lambda&1\\0&0&1&-\lambda\end{vmatrix}&=0\\ -\lambda\begin{vmatrix}-\lambda&0&0\\0&-\lambda&1\\0&1&-\lambda\end{vmatrix} \begin{vmatrix}1&0&0\\0&-\lambda&1\\0&1&-\lambda\end-{vmatrix} &= 0\\ -\lambda(-\lambda(\lambda^2-1))-(\lambda^2-1) &= 0\\ -\lambda(-\lambda^3+\lambda)-\lambda^2+1 y= 0 \\ \lambda^4-\lambda^2-\lambda^2+1 y=0\\ \lambda^2(\lambda^2-1)-1(\lambda^2-1)&=0\\ (\lambda^2-1)(\lambda^2-1) &= 0 \\ \lambda y= -1, 1\\ \end{align*} Ahora, la búsqueda de los vectores propios \begin{align*} \lambda = 1, \begin{bmatrix}-1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&1&-1\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&1&-1\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \, por tanto \vec{v} &= (1,1,0,0)\\ \lambda = -1, \begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\vec{v}_1&= 0\\ \, por tanto \vec{v} &= (-1,-1,0,0)\\ \end{align*} por lo Tanto, todos los de esta matriz de vectores propios son atravesados por (1,1,0,0) y (-1,-1,0,0).

Es esto correcto? Me siento como que debería haber más, específicamente (1,-1,0,0) correspondiente a $\lambda = -1$, pero podría estar equivocado.

Answer 1

Estás haciendo más trabajo del necesario. La estructura de$P$ se puede usar para simplificar el problema. Tenga en cuenta que$P$ tiene la forma$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{bmatrix}$, donde$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

Por lo tanto, es suficiente encontrar los vectores propios de$A$ y combinarlos para obtener los cuatro vectores propios de$P$.

Por inspección,$A$ tiene autovectores$v_1=(1,1)^T$% y$v_2=(1,-1)^T$, por lo que cuatro autovectores serán$(v_1^T,0)^T $,$(v_1^T,v_1^T)^T $,$(0, v_2^T)^T $,$(v_2^T,v_2^T)^T $ .

Answer 2

En el momento en que usted tiene una linealmente independientes autovector.

Se puede observar que (-1,-1,0,0) en realidad no se ajusta a la ley para el segundo vector propio, pero (1,-1,0,0) ¿desde (-1,-1,0,0) en realidad no dar a cero cuando se multiplica por el segundo conjunto de matrices.

Usted debe tener cuidado de tener en cuenta que los valores propios son degenerados, de modo que usted puede tener múltiples vectores propios por cada valor propio. Este es el caso, usted puede tomar nota de esta resolviendo para (0,0,a,b) que tiene un autovalor de a 1 o -1.

Answer 3

Ha encontrado los valores propios correctos, pero no ha encontrado todos los vectores propios.

Observe que para cada uno de sus valores propios, ha resuelto la matriz en forma escalonada (casi).

Para$\lambda = 1$ debe ser$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$ $ Cuando desee encontrar los vectores propios para este valor propio, piense en la cantidad de variables gratuitas que tiene. Ese debería ser el número de vectores propios linealmente independientes que puede encontrar para este autovalor.

Puede seguir este mismo enfoque con$\lambda = -1$.

Answer 4

Los autovalores que tienes son correctos. Sin embargo, los vectores propios que obtuviste no son del todo correctos.

Para$\lambda = 1$, resolviendo$(A-I)x=0$, puedes obtener dos soluciones particulares diferentes, y son$x_1 = (1,1,0,0)^{T}$ y$x_2 = (0,0,1,1)^{T}$. De forma similar, puede obtener dos soluciones particulares diferentes para$(A+I)x=0$, y son$x_3 = (1,-1,0,0)^{T}$ y$x_4= (0,0,1,-1)^{T}$. Entonces tiene cuatro autovectores,$x_1$,$x_2$,$x_3$ y$x_4$.