El punto más alejado a este toro

Question

Recordemos que el (geodésica) distancia en el ámbito de la unidad de $S^n$ está dado por $$ d(p, q) = \arccos \langle p, q \rangle. $$

Deje $f_r = f : \mathbb{R}^2 \to S^3$ ser definido por

$$f(\theta, \phi) = \left(r \cos \theta, r \sin \theta, \sqrt{1-r^2} \cos \phi, \sqrt{1-r^2} \sin \phi \right),$$

donde $r \in (0,1)$ es un parámetro, y considerar la posibilidad de $M = M_r$ a ser la imagen de $f$, que es un 2-toro. Mi pregunta es: ¿cuál es (son) la(s) en la esfera que es (son) el más alejado de la $M$? Debido a la simetría del problema, sospecho que es o $e_1 = (1,0,0,0)$ o $e_3 = (0,0,1,0)$, dependiendo de si $r \leq \sqrt{1-r^2}$ o $r \geq \sqrt{1-r^2}$. Sin embargo, soy incapaz de demostrarlo. Cualquier ayuda se agradece :)

Answer 1

En primer lugar observamos que el tori foliadas todos los de $S^3$ (con degeneración de los círculos en $r=0,1$), por lo que podemos utilizar $r,\theta,\phi$ como coordenadas. En estas coordenadas el interior del producto que aparecen en la función de distancia (con una diferencia de ángulo de identidad): $$\langle (r,\theta,\phi),(r',\theta',\phi') \rangle = r r' \cos(\theta - \theta') + \sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}\cos(\phi - \phi').$$

Vamos a llamar a la $r$ de su pregunta $R$, por lo que estamos tratando de encontrar el punto de $p = (r_0, \theta_0, \phi_0)$ la maximización de la distancia desde el torus dado por $r=R$. El interior de la fórmula del producto deja en claro que el punto más cercano en el toro a$p$$(R,\theta_0, \phi_0)$, tan sólo tenemos que elegir a $r_0 \in [0,1]$ minimizar $r_0 R + \sqrt{1-r_0^2}\sqrt{1-R^2}$.

Si usted diferenciar esta expresión vas a ver que el único punto crítico en $[0,1]$ es el máximo en $r_0=R$; así como la sospecha de que la solución es el círculo de la $r_0 = 0$ o el círculo de la $r_0 = 1$.