¿La función vacía es siempre una biyección?

Question

Dejemos que $f_A:\emptyset\to A$ sea la función vacía con rango $A$ . La definición de una biyección aplicada a esta función es:

$$\forall x,y \in \emptyset (x=y \implies f_A(x)=f_A(y))$$

negando lo que obtienes:

$$\exists x,y \in \emptyset (x = y\land f_A(x) \neq f_A(y))$$

Lo cual es obviamente una afirmación falsa ya que no hay elementos en $\emptyset$ en absoluto.

Esta cuestión me ha preocupado al considerar el conjunto vacío como objeto inicial de la categoría Conjunto y el siguiente teorema:

"Si I es un objeto inicial entonces cualquier objeto isomorfo a I es también un objeto inicial".

pero como toda función vacía es una biyección y, por tanto, un isomorfismo, se deduce que todos los objetos de Set son iniciales, lo cual es obviamente falso.

¿Qué me he perdido?

Answer 1

Tu definición simbólica de biyectividad es incorrecta. La condición que has escrito se mantiene porque $f_A$ es una función (vacía en el caso del conjunto vacío como dominio). Una función $f:A\rightarrow B$ es inyectiva (resp. suryectiva) si y sólo si $f(x)=f(y)$ implica $x=y$ (resp. para cada $z\in B$ existe $x\in A$ con $f(x)=a$ ). La función única del conjunto vacío a cualquier otro conjunto es inyectiva, pero puede ser suryectiva si y sólo si el objetivo también es vacío.

Answer 2

Keenan Kidwell lo dijo todo.

Pero ya que diste una definición de función en el dominio vacío (en lugar de la de una biyección) me gustaría enumerar por qué toda función vacía es una inyección y por qué la función vacía es una suryección si el rango es vacío:

$f:X \rightarrow Y$ es uno a uno si $ (\forall x_1, x_2 \in X) \: x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).$
Si $X$ está vacía la afirmación es vacuamente verdadera porque no hay $x_1, x_2 \in X$ .

$f:X \rightarrow Y$ es onto si $(\forall y \in Y)(\exists x \in X) \: y = f(x).$
Si $X$ está vacío y $Y$ no hay no hay $x \in X$ tal que cualquier afirmación se mantiene.
Si ambos están vacíos la afirmación es vacuamente verdadera, ya que no hay $y \in Y.$