Desigualdad respecto a las normas y convergencia débil-estelar

Question

Sea $X$ sea un espacio normado y $(x'_n) \subseteq X'$ una secuencia de funcionales donde $x_n'$ tiene $x'$ tiene su límite en la topología *-débil en $X'$ . Demuestre que $$ ||x'|| \le \operatorname{lim inf}_{n\to \infty} ||x'_n||. $$ No tengo ni idea de cómo mostrar esto, ¿tienes alguna pista?

Answer 1

Fijar $N$ un número entero, y que $v_N$ de norma $1$ tal que $\lVert x'(v_N)\rVert\geqslant \lVert x'\rVert -N^{—1}$ .

A continuación, escriba $$\lVert x'\rVert\leqslant N^{-1}+\liminf_{n\to +\infty}\lVert x'_n(v_N)\rVert$$

Answer 2

Sea $L=\liminf_{n\to\infty}\|x_n\|$ . Consideremos una subsecuencia $x_{n_k}'$ así que $\|x_{n_k}\|<L+\epsilon$ . Esto converge a *-débilmente $x'$ . Por Banach-Alaoglu, $\|x'\|\leq L+\epsilon$ . Por supuesto, $\epsilon$ puede elegirse arbitrariamente pequeño. [Esto es menos elemental que la primera solución propuesta, pero puede adaptarse fácilmente a las redes].

[Es falso que $\|x_n'\|\to \|x'\|$ como se sugiere a continuación. Consideremos cualquier secuencia ortonormal en un espacio de Hilbert infinito-dimensional, que necesariamente *-débilmente converge a $0$ .]