¿Es el principio del mínimo número entero un axioma?

Question

Siento mucho si esta pregunta se ha hecho antes, he buscado pero no he encontrado nada.

Estoy repasando un libro de teoría numérica elemental y en el primer capítulo introduce el principio del menor número entero. No hay ninguna prueba que lo acompañe, sólo dice: "un conjunto no vacío de enteros que está acotado por debajo contiene un elemento más pequeño".

¿La razón por la que el libro no da una prueba es porque lo tomamos como un axioma? ¿O la prueba es tan trivial que no es necesario escribirla?

Gracias.

Answer 1

Supongo que es usted un principiante y, por tanto, espera una explicación rudimentaria. A este nivel no sé si te has dado cuenta de la necesidad de definir lo que son realmente los números naturales. Es decir, es bastante fácil aceptarlos como números de conteo inicialmente. Pero en la teoría formal de conjuntos y en el establecimiento de los fundamentos del análisis intentamos desarrollar los números naturales utilizando (a veces) un conjunto de cinco axiomas básicos.

La cuestión es que uno de estos axiomas debe ser el "Principio de Ordenación" o el "Principio de Inducción Matemática" que utilizamos para construir inductivamente todo el conjunto $\Bbb N$ . Así que a este nivel hay que aceptar uno de estos dos principios como parte de la definición del conjunto $\Bbb N$ . Si aceptas la Inducción Matemática puedes demostrar el Principio de Ordenación del Pozo como un teorema. Si aceptas el Principio de Ordenación del Bien puedes utilizarlo para demostrar el Principio de Inducción Matemática. Eso es lo que se dice cuando las dos condiciones son equivalentes. Nótese que ambas condiciones pretenden ser un "Principio" y no un teorema.

Answer 2

Esto se llama el Principio de Ordenación del Pozo y cuando me lo enseñaron, había una prueba adjunta por inducción. Desgraciadamente, mi profesor demostró la prueba por inducción utilizando el principio de ordenación de pozos y mencionó que era un poco circular y no se extendió más. http://www.cs.bsu.edu/homepages/fischer/math215/wellorder.pdf esta es esencialmente la prueba