Mayor regularidad interior

Question

De PDE by Evans, 2ª edición, páginas 332-333. Mi pregunta y el trabajo mostrado están en la parte inferior de este post.

TEOREMA 2 (Mayor regularidad interior). Sea $m$ sea un número entero no negativo, y supongamos que $$a^{ij},b^i, c \in C^{m+1}(U) \quad (i,j = 1,\ldots,n) \tag{25}$$ y $$f \in H^m(U). \tag{26}$$ Supongamos que $u \in H^1(U)$ es una solución débil de la EDP elíptica $$Lu=f \quad \text{in }U.$$

$\qquad$ Entonces $$u \in H_{\text{loc}}^{m+2} (U); \tag{27}$$ y para cada $V \subset \subset U$ tenemos la estimación $$\|u\|_{H^{m+2}(V)} \le C(\|f\|_{H^m(U)}+\|u\|_{L^2(U)}),$$ la constante $C$ dependiendo sólo de $m,U,V$ y los coeficientes de $L$ .

Prueba. 1. Estableceremos $\text{(27), (28)}$ por inducción en $m$ el caso $m=0$ ser Teorema 1 anterior .

$\qquad$ 2. Asumir ahora las afirmaciones $\text{(27)}$ y $\text{(28)}$ son válidos para algún número entero no negativo $m$ y todos los conjuntos abiertos $U$ , coeficientes $a^{ij}, b^i, c$ etc., como en el caso anterior. Supongamos entonces $$a^{ij},b^i,c \in C^{m+2}(U), \tag{29}$$ y $$f \in H^{m+1}(U) \tag{30},$$ y $u \in H^1(U)$ es una solución débil de $Lu=f$ en $U$ . Por la hipótesis de inducción, tenemos $$u \in H_\text{loc}^{m+2}(U) \tag{31},$$ con la estimación $$\| u \|_{H^{m+2}(W)} \le C(\|f\|_{H^m(U)}+\|u\|_{L^2(U)}), \tag{32}$$ para cada $W \subset \subset U$ y una constante adecuada $C$ , dependiendo sólo de $W$ los coeficientes de $L$ etc. Fijar $V \subset \subset W \subset \subset U$ .

$\qquad$ 3. Ahora dejemos que $\alpha$ sea cualquier multiíndice con $$|\alpha|=m+1, \tag{33}$$ y elegir cualquier función de prueba $\tilde{v} \in C_c^\infty (W)$ . Insertar $$v :=(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}$$ en la identidad $B[u,v] =(f,v)_{L^2(U)}$ y realizar algunas integraciones por partes, para finalmente descubrir $$B[\tilde{u},\tilde{v}]=(\tilde{f},\tilde{v}) \tag{34}$$ para $$\tilde{u} := D^{\alpha}u \in H^1(W) \tag{35}$$ y $$\tilde{f} := D^\alpha f-\sum_{\substack{\beta \le \alpha \\ \beta \not= \alpha}} {\alpha \choose \beta} \left[-\sum_{i,j=1}^n (D^{\alpha - \beta} a^{ij} D^\beta u_{x_i})_{x_j} + \sum_{i=1}^n D^{\alpha - \beta} b^i D^\beta u_{x_i} + D^{\alpha - \beta} c D^\beta u \right]. \tag{36}$$

Mi intento:

La definición de $B[u,v]$ según la definición de la página 314, $$B[u,v] := \int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij} u_{x_i} v_{x_j} + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} v + cuv \, dx$$ y la definición del producto interior $(f,v)$ está dada por el libro de texto como $$f(u,v) = \int_U fv \, dx$$ para $u,v \in H_0^1(U)$ y $f \in L^2(U)$ .

Así que la identidad $B[u,v]=(f,v)_{L^2(U)}$ puede expresarse como $$\int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij} u_{x_i} v_{x_j} + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} v + cuv \, dx = \int_U fv \, dx.$$

Siguiendo las instrucciones del libro de texto, inserté la identidad de $v :=(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}$ en la identidad y obtuvo esto: $$\int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij} u_{x_i} (-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v_{x_j}} + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} [(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}] + cu [(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}] \, dx = \int_U f [(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \tilde{v}] \, dx.$$ Estoy tratando de obtener el resultado de $$B[\tilde{u},\tilde{v}]=(\tilde{f},\tilde{v}) \tag{34}$$ ¿Lo estoy haciendo bien hasta ahora? ¿Estoy preparado para realizar algunas integraciones por partes?

Answer 1

Para demostrarlo, hay que empezar por $B[u,v]=(f,v)$ , donde $v=(-1)^{|\alpha |} D^\alpha \overline{v}.$ Por lo tanto, es necesario cambiar cada derivada parcial de $v$ a $u$ por integración por partes.

Necesitarás algunos teoremas en notación multiíndice, como la fórmula de Leibniz, durante la integración por partes y más adelante concluirás que $B[\overline{u},\overline{v}]=(\overline{f},\overline{v}).$

(¡Estoy estudiando PDE y he terminado el cálculo ahora!)