Por qué muestra estadísticas convergen en el parámetro adecuado

Question

Sabemos que para la muestra empírica de la función de distribución de $F_n(x)$ tenemos que

a) $F_n(x)\xrightarrow[p]{}F(x)$ (pointwise convergencia)

b) $\dfrac{\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))}{\sqrt{F(x)(1-F(x))}}\xrightarrow[d]{}N(0,1)$

c) $F_n$ converge uniformemente en probabilidad a la F.

Mi pregunta es ¿cómo podemos demostrar que la muestra momentos de orden $k$, y la muestra de la central de los momentos de orden $k$ convergen a $E(X^k)$ $E(X-E(X))^k$ respectivamente? (Creo que deben utilizar el empírica de la función de distribución de las propiedades, pero no sé cómo, o que...)

Cualquier ayuda se agradece.

Si usted sabe cómo explicar que la muestra estadísticas convergen, sin el uso de cualquier propiedad de la distribución empírica, yo también estaría agradecido.

Answer 1

Estoy suponiendo que la muestra se compone de variables aleatorias iid $X_1,\dots, X_n$. La ley de los grandes números dice que si una variable aleatoria $X$ tiene un número finito de valor esperado, entonces la media de la muestra $\overline X=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i$ converge a $E(X)$ en la probabilidad. La sustitución de $X$$X^k$, esto implica que la muestra momentos de orden $k$ convergen en probabilidad a $E(X^k)$, mientras $E(X^k)$ existe.

Por la misma razón, $\frac1n\sum_{i=1}^n (X_i-E(X))^k$ converge en probabilidad al momento central de orden $k$ si es que existe; sin embargo, para obtener la convergencia de la muestra central momentos, tenemos que demostrar una modificación de esta declaración donde $E(X)$ es reemplazado por $\overline X$. Podemos hacer esto mediante la expresión de la $k$ésimo momento central de la muestra como un polinomio en términos de la $j$th muestra momentos, $j=1,\dots,k$ (por ejemplo, ver http://mathworld.wolfram.com/SampleCentralMoment.html) y, a continuación, la aplicación de la convergencia de la muestra momentos.

Si tenemos un infinito iid secuencia $X_1,X_2,\dots$, y si se forma una secuencia de muestras donde el $n$th la muestra se compone de la primera $n$ variables en esta secuencia, $X_1,\dots,X_n$, entonces podemos usar la fuerte ley de los grandes números para fortalecer las conclusiones anteriores: es decir, que vamos a conseguir casi seguro de convergencia (que es más fuerte que la convergencia en probabilidad) de la muestra de los momentos y de la muestra central momentos.