¿La integral $\int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}$ ¿Existe?

Question

Cuál es el resultado de esta integral $\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}$ ? He probado muchas posibilidades como dejar $\sqrt{(x-a)(x-b)}$ = u o tratando de hacer que el denominador se exprese como una diferencia de dos cuadrados pero nada funcionó.

Answer 1

Primero demostramos que la integral es independiente de $a$ y $b$ y, a continuación, deja que $a=-1$ y $b=1$ para obtener el resultado que $$\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi$$

Para la primera parte, utilice la sustitución $x=a+t(b-a)$ $$\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\int_0^1\frac{(b-a)dt}{\sqrt{t(b-a)(1-t)(b-a)}}=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}$$

Para la segunda parte, $$\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{(t+1)(1-t)}}=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t\Big|_{-1}^1=\pi$$

Se pueden combinar en un solo paso, pero la sustitución de la escala a [0,1] es más fácil de escribir.

Answer 2

He aquí un enfoque intuitivo que puede ser útil o no, según el rigor de la solución que necesite.

Primero voy a suponer que quieres una integral real, y que la pregunta debe ser $$\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$$ como han sugerido varias personas en los comentarios. Obsérvese que tenemos dos problemas (aunque ambos son del mismo tipo) ya que el integrando no está acotado como $x\to a^+$ y como $x\to b^-$ .

Si $x\to a^+$ entonces $1/\sqrt{b-x}$ es más o menos una constante (finita, no nula). Así que podemos saber si la integral converge o no considerando $$\int_a^{a+\varepsilon}\frac{dx}{\sqrt{x-a}} =\lim_{c\to a^+}\int_c^{a+\varepsilon}(x-a)^{-1/2}\,dx =\lim_{c\to a^+}\bigl(2\sqrt{\varepsilon}-2\sqrt{c-a}\bigr) =2\sqrt{\varepsilon}\,.$$ Como el límite existe, la integral converge. Se puede tratar el problema como $x\to b^-$ de la misma manera.

Answer 3

Configuración $a=0$ y $b=1$ entonces \begin {align} \int_0 ^1 {{x^{ - { \textstyle {1 \over 2}}}}{{ \left ( {1 - x} \right )}^{ - { \textstyle {1 \over 2}}}}dx} = \int_0 ^1 {{x^{{ \textstyle {1 \over 2}} - 1}}{{ \left ( {1 - x} \right )}^{{ \textstyle {1 \over 2}} - 1}}dx} = B \left ( { \frac {1}{2}, \frac {1}{2}} \right ) = { \Gamma ^2} \left ( { \frac {1}{2}} \right ) = \pi \end {align}