¿Cuál es el procedimiento para probar este resultado?

Question

Pregunta: Si $\tan\frac{\theta}{2}=\tan^3\frac{\phi}{2}$ y $\tan\phi=2\tan\alpha$, muestra que $\theta+\phi=2\alpha.

Mi problema: No puedo entender cómo proceder a partir de los datos dados, ya que los datos dados involucran funciones trigonométricas mientras que el resultado requerido involucra ángulos. Tal vez tenemos que igualar las mismas funciones trigonométricas y luego los ángulos respectivos. Agradecería mucho si alguien pudiera explicarme la lógica y el proceso de pensamiento detrás de la prueba y el enfoque para demostrar el resultado. (No he publicado ningún intento porque honestamente no sé por dónde empezar ni cómo empezar)

Answer 1

Solo necesitamos usar la fórmula de adición de tangentes \begin{eqnarray*} \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}. \end{eqnarray*} dejemos $t=\tan(\frac{\phi}{2})$ entonces $\tan(\frac{\theta}{2})=t^3$ y la fórmula del ángulo medio nos da $\tan(\phi)=\frac{2t}{1-t^2}$ \begin{eqnarray*} \tan(\frac{\theta+\phi}{2})=\frac{\tan(\frac{\theta}{2})+\tan(\frac{\phi}{2})}{1-\tan(\frac{\theta}{2})\tan(\frac{\phi}{2})}=\frac{t^3+t}{1-t^4}=\frac{t}{1-t^2}=\frac{1}{2} \tan(\phi)= \tan(\alpha). \end{eqnarray*>

Answer 2

¡Está mal! Intente $\phi=\alpha=0$ y $\theta=2\pi$.