Relaciones entre teorías y categorías

Question

Sólo estoy jugando con algunas ideas, tratando de entender algunos conceptos:

Parece que toda teoría formal induce una categoría localmente pequeña a través de interpretaciones: sus objetos son estructuras que satisfacen las sentencias de esa teoría (por ejemplo, modelos), y sus morfismos son homomorfismos lógicos.

1. ¿Es correcto?

2. ¿Y lo contrario? ¿Es cierto que toda categoría localmente pequeña induce una teoría formal? Si es así, ¿existen algoritmos conocidos para construir dicha teoría a partir de una categoría dada explícitamente?

3. Si es así, los funtores pueden considerarse como relaciones entre teorías. Pero esto no se ajusta a mi intuición. Por ejemplo, hay un funtor covariante entre la categoría de las variedades puntuales y los espacios lineales, pero estoy acostumbrado a pensar en él como, aproximadamente, una especie de incrustación. No como una forma de relacionar la teoría matemática geometría diferencial con la teoría del álgebra lineal. ¿Cuál es un buen modelo mental para pensar en ello?

4. ¿Es posible demostrar resultados utilizando estas correspondencias, de forma que se "evite" el teorema de incompletitud de Godel? Por ejemplo, demostrando que la categoría inducida por una teoría tiene un objeto inicial en el que se cumple alguna propiedad categórica, podemos deducir la veracidad de un enunciado en esta teoría (ya que es verdadero en todo modelo). ¿Puede ocurrir que ese enunciado verdadero sea indemostrable en la teoría, en el sentido regular? ¿Puede utilizarse una estrategia similar para demostrar la independencia de un axioma?

5. ¿Existe una diferencia categórica entre la lógica de primer y segundo orden? Supongo que tiene que ver con las categorías grandes, por un lado, y con el teorema de Lowenheim-Skolem, por otro, pero no he llegado muy lejos con esta idea.

Relacionado: (a) Comparación de la teoría de categorías y la teoría de modelos (con ejemplos de la teoría de grupos). (b) Una lógica que puede distinguir entre dos estructuras

Answer 1

He aquí algunas respuestas parciales:

1. Una buena definición de flechas para $\mathrm{Mod}(T)$ son incrustaciones elementales de modelos.

2. Resulta que "ser la categoría de modelos de una teoría de primer orden" no es una propiedad de una categoría. Me explico: sea C la categoría discreta con una infinidad incontable de objetos. Pregunta: ¿es C la categoría de los modelos de una teoría? Respuesta: bueno, podría serlo, pero hay que añadir más información, hay que poner una topología en C. Por ejemplo, si haces de C el espacio de Cantor, entonces la respuesta es Sí, es la categoría de modelos de una teoría proposicional con un número contable de constantes proposicionales. Si dotamos a C de una topología diferente, entonces corresponderá a los modelos de una teoría diferente.

3. Toda interpretación entre teorías corresponde a un functor; pero no todo functor corresponde a una interpretación entre teorías. Es necesario especificar algunas condiciones en el functor -- necesita preservar la estructura relevante. Los requisitos se detallan en el libro de Makkai y Reyes, Lógica categórica de primer orden

4. Es difícil demostrar las propiedades teóricas del modelo utilizando métodos categóricos. Pero en el libro de Makkai y Reyes se hicieron algunos avances en esta dirección.

5. La lógica de orden superior necesita la teoría de los topos. Ver el libro, Introducción a la lógica categórica de orden superior por Lambek y Scott.