$x^p-x-1$ es irreducible en $\mathbb{Q}$ [x]

Question

Para cualquier p primera, demostrar que $x^p-x-1$ es irreducible en $\mathbb{Q}$ [x].

(En un campo de característica p esto es cierto).

Asummed existe raíz en $\mathbb{Q}$, llamemos a $\frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{Q}$. Entonces después de que el $\frac{\alpha ^p}{\beta ^p} - \frac{\alpha}{\beta}-1 = 0$ y $\alpha ^p - \alpha \beta ^{p-1} - \beta ^p =0$. Así $\alpha ^p = -\beta^p (1 + \alpha \beta ^{-1})$. Pero esto sólo prueba que $x^p -x -1$ no tiene raíces racionales.

Answer 1

Por ejemplo tenemos $x^p-x-1$ es irreducible en $F_p$ lo que implica que el mismo polinomio es irreducible sobre el campo de los racionales, el inverso no es correcto que podemos encontrar polinomios que son irreductibles en el campo de los racionales y reducible para cualquier % primer $p$.

Asumir que $P=x^p-x-1$ es reducible sobre números racionales y escribir: %#% $ $$P=QR$ #% tenemos $F_p$ que es una factorización si $\overline{P}=\overline Q\overline R$ y esto es una contradicción.