Demuestre que los números $(2n + 1)$ y $(4n^2+1)$ son relativamente primos

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$(2n + 1)$ y $(4n^2+1)$

son relativamente primos para todos $n$ ?

Conozco el uso de $ax + by = 1$ mostrar $x,y$ ser relativamente primo, pero ¿cómo puedo aplicarlo aquí?

Answer 1

Supongamos que $d$ es un divisor común de estos números, entonces $d | 2n(2n+1)-(4n^2+1)=2n-1$ . Pero entonces $d | (2n+1)-(2n-1)=2$ . Así que $d$ es $1$ o $2$ . Pero ambos $2n+1$ y $4n^2+1$ son impar so $d$ tiene que ser $1$ .

Answer 2

Hay formas más inspiradas de atacar este ejemplo, pero cuando nos sentimos poco imaginativos podemos recurrir al método general del algoritmo de Euclides:

$$\gcd(4n^2+1, 2n+1)$$

Divide $4n^2+1$ por $2n+1$ para obtener el cociente $2n-1$ y resto $2$ :

$$ = \gcd((2n-1)(2n+1) +2, 2n+1)$$

Gira la manivela del algoritmo de Euclides:

$$ = \gcd(2, 2n+1)$$

Ahora, podríamos dividir $2n+1$ por $2$ para obtener el cociente $n$ y resto $1$ pero a estas alturas cualquier tío sabe que $2n+1$ es impar, así que:

$$ = 1$$

Esto demuestra que son relativamente primos.

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Quieres encontrar $a, b$ tal que $ax + by = 1$ y utilizando las divisiones que realizamos siguiendo el algoritmo de Euclides podemos hacerlo. Aprendimos:

$$ 1 = (2n + 1) - n (2)$$ $$ 2 = (4n^2 + 1) - (2n-1)(2n+1)$$

Es decir, con $x = 2n+1$ y $y = 4n^2+1$ :

$$ 1 = x - n(2)$$ $$ 2 = y - (2n-1)x$$

Sustituyendo la segunda por la primera:

$$ 1 = x - n( y - (2n-1)x )$$ $$ = (1 + n(2n-1))x - n y$$ $$ = (2n^2-n+1)x - n y$$

Así que los coeficientes que necesitas son $2n^2 - n + 1$ y $-n$ .

Answer 3

$\,d\mid \color{#c00}{a^2\!+\!1,a\!+\!1}\,\Rightarrow\,d\mid 2 = \color{#c00}{a^2\!+\!1}\!-\!\overbrace{(\color{#c00}{a\!+\!1})(a\!-\!1)}^{\Large a^2\ -\ 1},\,$ así que $\,d=1\,$ si $\,a =2n\,$ $(\Rightarrow$ $\,a\!+\!1\,$ es impar)

${\bf Remark}\ \ (b,a)\, =\, (b\bmod a,\,a)\ $ por Euclides de manera más general

$\quad\ \ (f(a),\,a\!+\!1)\, =\, (f(-1),\,a\!+\!1)\,\ $ por $\! \underbrace{f(-1)\, =\, f(x)\bmod x\!+\!1}_{\large \text{Polynomial Remainder Theorem}}$

Por encima de $\,f(x)=x^2\!+\!1\,$ así que $\,f(-1) = 2$

Answer 4

Encontraremos enteros $x$ y $y$ tal que $(2n+1)x+(4n^2+1)y=1$ . (Esta no es la forma más natural de demostrar la coprimalidad).

Tenga en cuenta que $x_0=-(2n-1)$ , $y_0=1$ casi funciona, excepto que $(2n+1)x_0+(4n^2+1)y_0=2$ . Hay una solución fácil. Para $$(2n+1)(x_0+4n^2+1)+(4n^2+1)(y_0-(2n+1))=2.$$ Sea $x=\frac{x_0+4n^2+1}{2}=2n^2-n+1$ y que $y=\frac{y_0+(-(2n+1))}{2}=-n$ .

Answer 5

Sea $a = 2n + 1$ y $b + 4n^2 +1$ . Queremos demostrar que $\gcd(a,b) = 1$ Supongamos que $p$ es un factor común de $a$ y $b$ . Entonces $p$ divide $a^2 = 4n^2 + 4n + 1$ y $p$ divide $b = 4n^2 +1$ . Por lo tanto $p$ divide $a^2 - b = 4n$ . Pero $p$ es claramente impar y primordial para $4$ Así que $p$ divide $n$ . Entonces $p$ divide ambos $n$ y $2n +1$ que son claramente relativamente primos, por lo que tenemos una contradicción, y $\gcd(a,b) = 1$ .