Supongamos que para cada una de las $t\in\mathbf{R}$ tenemos una $n\times n$ matriz $A(t)$ y que existe una $m\geq 0$ de tal manera que para cada una de las $|t|\geq m$ la matriz $A(t)$ es positiva definida. La familia de matrices de $A$ depende continuamente en el parámetro de $t$. Por otra parte, la norma de la matriz de $A(t)$ es acotado por una constante. Ahora considere la siguiente ODA $$\dot{x}(t)=A(t)x(t).$$ Luego, de la de Cauchy-Lipschitz el teorema se sigue que para cada una de las $y_0\in\mathbf{R}^n$ existe una solución única a $x(t)$ de esta ODA con $x(0)=y_0$. Mi pregunta es: puedo concluir que $x=0$ es la única delimitada solución?
Para $A$ independiente de $t$ esto es cierto, podemos calcular la solución exacta y acaba de ver que no trivial solución es ilimitado. Para $n=1$, también es cierto: para algunos fijos $t>m$ podemos ver en cualquier solución de $x$ $x(t)>0$ (si $x(t)<0$ solo miren $-x$), entonces la ecuación y el positivo de la definición implica $x'(t)>0$. Por lo tanto $x$ es creciente en ese punto, lo que significa que crece hasta el infinito como $t\rightarrow\infty$. Ya no trivial solución a esta ODA es distinto de cero en algunos $t>m$ se sigue que $x=0$ es la única delimitada solución. Sin embargo, en general no autónomos de las $n\times n$ caso no veo cómo esto funciona con precisión. Yo no necesariamente necesita una prueba, una referencia a un libro o papel está muy bien así.
Actualización: Gracias a humanStampedist descubrí que al menos necesidad de asumir que $A(t)\rightarrow A^{\pm}$ $t\rightarrow\pm\infty$ para algunos positiva definida matrices $A^{\pm}$. Sin embargo, en este supuesto, yo todavía no sé la solución, por lo que más se necesita.
