¿Perfecto grupo de exponente 3?

Question

Pregunta. ¿Hay un no trivial grupo $G$ tal que $[G,G]=G$ y $g^3=1$ cada $g\in G$?

Todo pude pensar hasta ahora es la siguiente.

• Si existe tal grupo debe ser generado infinitamente debido al finito local de grupos de exponente 3.
• Ideal grupos grandes existen suficiente principal exponente, por ejemplo, un Monstruo de Tarski.

Answer 1

Supongamos que $\exp\,G=3$. Luego la clase del nilpotency de $G$ es a más $3$. Por lo tanto, $[[[G,G],G],G]=1$. Pero si $G$ es un grupo perfecto, $G=[G,G]=[[G,G],G]=[[[G,G],G],G]=1$, una imposibilidad.