Clasificación de $2$ -con centro cíclico de orden $2^n$ y el índice $4$

Question

Si $G$ es un $2$ -con centro cíclico de orden $Z(G)=2^n$ y el índice de $|G/Z(G)|=4$ Entonces, ¿cuántos grupos de un determinado orden son posibles?

Sé que hay dos posibilidades para dicho grupo:

1. $G = \langle x,y,s \mid x^2 = y^2 = 1\rangle$ con $x,y \in G$ y $s$ es generador de centro,
2. $G = \langle x,y,s \mid x^2 = y^2 = s\rangle$ , donde $Z(G) = \langle s \rangle$ y $|G/Z(G)|=4$ .

Además, conozco algunas propiedades de estos grupos:

1. $x^2 \in Z(G)$ por cada $x \in G$ ,
2. $xy = yx$ o $xy = eyx$ para $e \in Z(G)$ .

¿Cómo demostrar que éstas son las dos únicas posibilidades?

Answer 1

Si $x^2 = s^{2k}$ para algunos $k$ entonces $(xs^{-k})^2=1$ por lo que al sustituir $x$ por $xs^{-k}$ podemos suponer que $x^2=1$ .

Si $(xs^{-k})^2=s$ por lo que al sustituir $x$ por $xs^{-k}$ podemos suponer que $x^2=s$ .

Así que podemos suponer que $x^2=1$ o $s$ y de manera similar $y^2=1$ o $s$ y también $z^2=1$ o $s$ , donde $z=1$ o $s$ . Así que sustituyendo $x$ o $y$ por $z$ si es necesario, podemos obtener $x^2=y^2=1$ o $x^2=y^2=s$ , dando las dos posibilidades.

Para demostrar que los grupos están definidos de forma única hasta el isomorfismo, también tenemos que demostrar que el conmutador $[x,y] = x^{-1}y^{-1}xy$ se determina. Dado que $[x,y] \in Z(G)$ tenemos $[x,y]^2 = [x^2,y] = 1$ . Por lo tanto (ya que $G$ es no abeliana) debemos tener $[x,y]= s^{2^{n-1}}$ en ambos casos.

Answer 2

Sabemos que $G/Z(G)$ no es cíclico (o bien $G$ es abeliana), por lo que $G/Z(G)$ es el grupo de cuatro de Klein, en el que cada elemento es autoinverso, por lo que $g^2\in Z(G)$ por cada $g$ . La propiedad 2 se deduce del hecho de que $Z(G)$ debe contener el subgrupo conmutador de $G$ porque $G/Z(G)$ es abeliana.