Mi matriz es
$$A= \begin {pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end {pmatrix}$$
Necesito encontrar todas las matrices que se desplazan con él.
Mi matriz es
$$A= \begin {pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end {pmatrix}$$
Necesito encontrar todas las matrices que se desplazan con él.
Así que escribe $$ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ - 1 & -3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & t\\ \end{pmatrix} $$ y resolver el sistema lineal resultante.
Si conoces los valores y vectores propios, hay métodos mejores, pero en este caso el método directo funcionará.
Usted obtiene el sistema \begin{cases} x - y = x + 2 z\\ 2 x - 3 y = y + 2 t\\ z - t = -x - 3 z\\ 2 z - 3 t = -y - 3 t\\ \end{cases} o \begin{cases} y + 2 z = 0\\ 2 x - 4 y - 2 t = 0\\ x + 4 z - t = 0\\ y + 2 z = 0\\ \end{cases} o \begin{cases} y = - 2 z\\ x = - 4 z + t,\\ \end{cases} para que podamos tomar $z, t$ de forma arbitraria, y calcular $x, y$ de este último sistema. Obtenemos $$ \begin{pmatrix} - 4 z + t & -2 z \\ z & t\\ \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} - 4 & -2 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ o más naturalmente $$ -z \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3\\ \end{pmatrix} + (t-3z) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$
Esa matriz no es claramente un múltiplo de la matriz identidad, por lo que su polinomio mínimo es de grado ${}>1$ por lo que es igual a su polinomio característico. Entonces por el resultado de esta pregunta , matrices que conmutan con $A$ son sólo los polinomios en $~A$ . Dado que el polinomio mínimo tiene grado $~2$ los polinomios en $A$ son sólo las combinaciones lineales de $A$ y el $2\times2$ matriz de identidad (llenando un $2$ -subespacio dimensional de matrices).
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