Estructura del ciclo de transformación afín

Question

Considere el anillo $\mathbb{Z}_n$ de restos modulo $n$ número $n.$ Let $a,b \in \mathbb{Z}n$ y considerar el mapa $$f{a,b}(x) = ax+b.$ $

Si $a$ es invertible entonces el mapa es biyectiva y por lo tanto puede ser visto como una permutación.

Mi pregunta es

¿Es posible determinar la estructura de ciclo $f_{a,b}(x)$ como una permutación? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

$\mathfrak S_n$, el grupo simétrico de orden $n$ actos fielmente en el set $\{0,1,\ldots, n-1\}$, por lo que los mapas en forma de $f_{a,b}$ representan un subconjunto de a $\mathfrak S_n$. Desde $f_{c,d}\circ f_{a,b}=f_{ca,cb+d}$ (e $\mathfrak S_n$ es finito) este subconjunto es un subgrupo. La identidad de abajo muestra que el orden de la permutación representado por $f_{a,b}$ es un múltiplo de la orden de $a$ en la reducción de la restclasses modulo $n$. En el caso especial cuando $b=0$ los dos el fin es el mismo. Si $a=1$, la orden de $f_{1,b}$ es el orden de $b$ en el grupo aditivo de $\mathbb Z_n$. Uno puede notar, que el subgrupo contiene en cada caso, el subgrupo generado por el ciclo de $(0,1,2,\ldots,n-1)$ debido a que su generador corresponde a la mapa $f_{1,1}$. Supongo que el resto de propiedades de nuestro grupo, dependiendo del valor concreto de n.

Answer 2

El caso de al $a = 1$ debe ser clara. Así que supongamos $a \ne 1$.

Me puede decir usted lo que sucede cuando $n$ es primo.

Si $a \ne 1$, por lo que el $a - 1$ es invertible, hay un $1$ciclo para el punto fijo,$x_{0}$$f_{a,b}$, la solución de $a x_{0} + b = x_{0}$, es decir,$x_{0} = -b (a - 1)^{-1}$.

Ahora, en general, tenemos $f_{a,b}^{n}(x) = a^{n} x + b (a^{n-1} + \dots + a + 1)$. Tenga en cuenta que $a^{n} = 1$ fib $a^{n-1} + \dots + a + 1 = 0$.

Supongamos $f_{a,b}^{n}(x) = x$ algunos $n$. Si $a^{n-1} + \dots + a + 1 \ne 0$, entonces podemos ver que $x$ es un punto fijo para $f_{a,b}$, ver arriba. Si $a^{n-1} + \dots + a + 1 = 0$,$a^{n} = 1$, y de ello se sigue que todos los demás ciclos de la longitud de la multiplicativo período de $a$.