¿Cuál es la norma de la previa multiplicación por un operador de la matriz fija?

Question

Deje $A \colon= \left(\alpha_{ij} \right)_{m\times n}$ una $m \times n$ matriz de números complejos, y dejar que el operador $T \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ ser definido por $$T(x) \colon= Ax \ \ \ \mbox{ for all } \ x \in \mathbb{C}^n,$$ donde $\mathbb{C}$ denota el conjunto de todos los números complejos, todos los vectores deben entenderse como vectores columna, y $Ax$ denota la costumbre de la matriz producto.

A continuación, $T$ es, por supuesto, un operador lineal.

Deje $r$ $k$ ser dado de números reales tales que a$1 \leq r < +\infty$$1 \leq k < +\infty$.

Entonces, ¿qué es la norma de la $T$

(i) si la norma en $\mathbb{C}^n$ está dado por $$\Vert x \Vert_k \colon= \left( \vert \xi_1\vert^k+ \cdots + \vert \xi_n \vert^k \right)^{\frac{1}{k}} \ \ \ \mbox{ for all } \ x \colon= (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{C}^n$$ y la norma en $\mathbb{C}^m$ está dado por $$\Vert y \Vert_r \colon= \left( \vert \eta_1 \vert^r + \cdots + \vert \eta_m \vert^r \right)^{\frac{1}{r}} \ \ \ \mbox{ for all } \ y \colon= (\eta_1, \ldots, \eta_m) \in \mathbb{C}^m?$$

(ii) si $\mathbb{C}^n$ se le da la misma norma, como en (i) anterior, sino $\mathbb{C}^m$ se da la máxima norma $$\Vert y \Vert_{\infty} \colon= \max \left( \vert \eta_1 \vert, \ldots, \vert \eta_m \vert \right) \ \ \ \mbox{ for all } \ y \colon = (\eta_1, \ldots, \eta_m ) \in \mathbb{C}^m?$$

(iii) si $\mathbb{C}^n$ se da la máxima norma $$\Vert x \Vert_{\infty} \colon= \max \left( \vert \xi_1 \vert, \ldots, \vert \xi_n \vert \right) \ \ \ \mbox{ for all } \ x \colon= (\xi_1, \ldots, \xi_n ) \in \mathbb{C}^n,$$ pero $\mathbb{C}^m$ se le da la misma norma, como en (i) anterior?

(iv) si $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^m$ son dadas sus respectivos máximo de normas, como en (ii) y (iii) anteriores?

Definición:

Deje $X$ $Y$ ser normativa espacios reales o complejos, y deje $T \colon X \to Y$ ser un operador lineal. A continuación, $T$ se dice acotado si existe un sin-número real negativo $c$ tal que $$\Vert T(x) \Vert_{Y} \leq c \ \Vert x \Vert_{X} \ \ \ \mbox{ for all } x \in X,$$ y, a continuación, la norma $\Vert T \Vert$ $T$ está dado por la fórmula $$\Vert T \Vert \colon= \sup \left\{ \ \frac{\Vert T(x) \Vert_Y}{\Vert x \Vert_X} \ \colon \ x \in X, \ x \neq \theta_X \ \right\},$$ donde $\theta_X$ denota el vector cero en $X$.

O, de manera equivalente, $$\Vert T \Vert = \sup \left\{ \ \Vert T(x) \Vert_Y \ \colon \ x \in X, \ \Vert x \Vert_X = 1 \ \right\}.$$

Se puede demostrar que si $X$ es finito-dimensional, a continuación, $T$ está acotada.

Answer 1

Para una matriz de $A\in\Bbb R^{m\times n}$ $1\leq p_1,p_2\leq \infty$ definir $$\|A\|_{p_1,p_2}:=\max_{x_2\neq 0}\frac{\|Ax_2\|_{p_1}}{\|x_2\|_{p_2}}.$$

Respuesta parcial a $i)$:

El uso de una generalización de la Perron-Frobenius teorema puede calcular algunas de esas normas.

Todo esto es explicado en este documento (principalmente Teorema 1 y 2). En realidad tratan el caso más general de tales normas, sino que para los tensores, cambio de matrices. Tenga en cuenta que esta respuesta también está relacionado con su problema.

Voy a resumir aquí algunos resultados:
Supongamos que $A\in\Bbb R^{m\times n }$ es no negativa (es decir, $A_{i,j}\geq 0 $ todos los $i,j$) y considerar el siguiente gráfico asociado a $A$: $G(A)=(V,E(A))$ con $V=\{1,\ldots,m\}\times \{1,\ldots,n\}$ $(i,j)\in E(A)$ si y sólo si $A_{i,j}>0$. Además, vamos a definir para $1<q<\infty$ la función $$\psi_{q}(y):= \big(|y_1|^{q-1}\operatorname{sign}(y_1),\ldots,|y_m|^{q-1}\operatorname{sign}(y_m)\big),$$ y escribir $q':=q/(q-1)$ el Hölder conjugado de $q$.

Teorema: Si $A\in \Bbb R^{m\times n}$ es no negativa, la gráfica de $G(A)$ está conectado y $1<p_1,p_2<\infty $ son tales que $(p_1-1)(p_2-1)\geq 1$, la secuencia de $(x^k)_{k=1}^{\infty}\subset\Bbb R^n$ definido por $$x^0=(1,\ldots,1),\qquad x^{k+1}=\frac{\psi_{p_2'}\big(A^T\psi_{p_1}(Ax^k)\big)}{\|\psi_{p_2'}\big(A^T\psi_{p_1}(Ax^k)\big)\|_{p_2}}, \quad k=1,2,\ldots$$ satisfacer $$ \min_{i=1,\ldots,n}\left(\frac{\Big(\psi_{p_2'}\big(A^T\psi_{p_1}(Ax^k)\big)\Big)_i}{x^k_i}\right)^{p_2-1}\leq \min_{i=1,\ldots,n}\left(\frac{\Big(\psi_{p_2'}\big(A^T\psi_{p_1}(Ax^{k+1})\big)\Big)_i}{x^{k+1}_i}\right)^{p_2-1}\leq \|A\|_{p_1,p_2}^{p_1-1}$$ y $$ \max_{i=1,\ldots,n}\left(\frac{\Big(\psi_{p_2'}\big(A^T\psi_{p_1}(Ax^k)\big)\Big)_i}{x^k_i}\right)^{p_2-1}\geq \max_{i=1,\ldots,n}\left(\frac{\Big(\psi_{p_2'}\big(A^T\psi_{p_1}(Ax^{k+1})\big)\Big)_i}{x^{k+1}_i}\right)^{p_2-1}\geq \|A\|_{p_1,p_2}^{p_1-1}$$ para cada $k\in\Bbb N$ (muy útil para obtener los límites superiores e inferiores rápidamente en la matriz de la norma). Por otra parte la secuencia de $(x^k)_{k=1}^{\infty}$ converge a una estrictamente positivo global maximizer. Este maximizer es la única que no negativos punto crítico de la función $$ \Bbb R^{n}\setminus{\{0\}} \to \Bbb R, \quad x_2\mapsto \frac{\|Ax_2\|_{p_1}}{\|x_2\|_{p_2}}.$$

Respuesta parcial a $ii)$$iii)$:

Ver a @Norbert citación y este papel. Copio aquí el resultado principal.

Denotar por $A(:,j)$ $j$- columna de $A$ $A(:,j)$ $j$- ésima fila de la matriz $A\in \Bbb R^{m\times n}$.

Teorema:
La siguiente fórmula se tiene:

• $\|A\|_{1,1}=\max\limits_{j=1,\ldots,m}\|A(:,j)\|_1$

• $\|A\|_{1,2}=\max\limits_{j=1,\ldots,m}\|A(:,j)\|_2$

• $\|A\|_{1,\infty}=\max\limits_{j=1,\ldots,m}\|A(:,j)\|_{\infty}$

• $\|A\|_{2,1}=\max\limits_{u\in\{-1,1\}^m}\|A^Tu\|_2$

• $\|A\|_{2,2}=\max\!\big\{\sqrt{\lambda}\mid \lambda \text{ is an eigenvalue of $^TA$}\big\}$

• $\|A\|_{2,\infty}=\max\limits_{i=1,\ldots,n}\|A(i,:)\|_2$

• $\|A\|_{\infty,1}=\max\limits_{u\in\{-1,1\}^m}\|Au\|_1$

• $\|A\|_{\infty,2}=\max\limits_{u\in\{-1,1\}^m}\|Au\|_2$

• $\|A\|_{\infty,\infty}=\max\limits_{i=1,\ldots,n}\|A(i,:)\|_1$

Answer 2

Parece que hay no hay tal fórmula. Vagamente hablando incluso para casos simples de este problema es NP-hard. Para más detalles ver este documento