Demuestre que existe una probabilidad tal que$P_n$ converja débilmente / en distribución como$n \to \infty$.

Question

Supongamos que $P_n$ $n \ge 1$ es una secuencia de probabilidades concentrado en $[a,b]$. Supongamos que uno puede mostrar que para cada entero positivo $r$ que $\int_{[a,b]}x^rP_n(dx) \to m_r \in R$$n \to \infty$. Mostrar que existe una probabilidad de $P$ tal que $P_n \Rightarrow P$ $n \to \infty$ $\int_{[a,b]}x^rP(dx) = m_r$ por cada $r \ge 1$.

Mi intento de solución:

Yo creo que porque estamos buscando probabilidades en $[a,b]$, por lo que automáticamente se tiene que la secuencia de apretado. En que punto me gustaría aplicar Prohorov del Teorema, que implica que los débiles de cierre de la secuencia es compacto en la topología débil. Pero no tengo idea de qué hacer desde aquí.

Edit 1: he hecho algunos progresos. Así, por un subsequence que converge débilmente a $P$, dicen, $P_{n_k}$, cuya existencia se están garantizados por Prohorov del Teorema, que subsequence converge débilmente a algunos $P_k$. Por lo tanto, para todo continuo, delimitadas las funciones de $f$$[a,b]$, tenemos que $$\int_{[a,b]} f(x)P_{n_k}(dx) \to \int_{[a,b]}f(x)P_k(dx)$$ Estoy pensando que a partir de aquí vamos a querer aplicar Weierstrass (todo continuo, delimitadas las funciones pueden ser aproximadas por polinomios), pero no sé bien cómo hacerlo.

Answer 1

De hecho, una subsecuencia converge en la distribución. Para mostrar la existencia de$\mathbb P$, tenemos que mostrar que hay como máximo un punto límite.

Como el mapa$x\mapsto x^j$ es continuo y está limitado en$[a,b]$, tenemos$$\tag{conv} \lim_{ l\to\infty } \int_{[a,b]}x^j\mathrm d\mathbb P_{n_l}(x)= \int_{[a,b]}x^j\mathrm d\mathbb Q(x) $ $ si$\mathbb P_{n_l}\to \mathbb Q$. Supongamos que$\mathbb P_{n_l}\to \mathbb Q$ y$\mathbb P_{m_l}\to \mathbb Q'$, luego suponiendo que tenemos$$\int_{[a,b]}x^j\mathrm d\mathbb Q(x) =m_j=\int_{[a,b]}x^j\mathrm d\mathbb Q'(x) $ $ y sigue por el teorema de Stone-Weierstrass que$\mathbb Q=\mathbb Q'$ por lo tanto que$\mathbb P_n\to \mathbb P$ débilmente.

La última parte sigue aplicando (conv) a toda la secuencia.

Answer 2

Sugerencias:

1. Como ya se ha señalado la debilidad de la convergencia de la secuencia de $(P_n)_n$ es equivalente a la siguiente: No existe una medida $P$ tal que para cualquier subsequence $(P_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ existe una larga $(P_{n_{k_\ell}})_{\ell}$ tal que $P_{n_{k_\ell}}$ converge débilmente a $P$.
2. Deje $(P_{n_k})_k$ ser arbitraria larga. Por Prokohorov del teorema, existe una larga $P_{n_{k_\ell}}$ que converge débilmente a alguna medida $P$. Queda por demostrar que $P$ no depende de que el elegido larga.
3. Desde $[a,b] \ni x \mapsto x^r$ está delimitado para cada una de las $r \in \mathbb{N}_0$, tenemos $$\int_{[a,b]} x^r \, dP_{n_{k_\ell}}(x) \to \int_{[a,b]} x^r \, dP(x)$$ by weak convergence. On the other hand, by assumption, the left-hand side converges to $m_r$. Consequently, $$m_r = \int_{[a,b]} x^r \, dP(x).$$
4. Cualquier medida $Q$ $[a,b]$ está determinada únicamente por sus momentos $$\int_{[a,b]} x^r \, dQ(x), \qquad r \in \mathbb{N}_0.$$ This follows from the fact that any measure is uniquely determined by its characteristic function and $$\int e^{\imath \, t x} \, dQ(x) = \sum_{r \in \mathbb{N}_0} (\imath \, t)^r \int_{[a,b]} x^r \, dQ(x).$$ (Note that the dominated convergence theorem is applicable since $$\int_{[a,b]} e^{|t| x} \, dQ(x) \leq e^{|t| \max\{|a|,|b|\}} Q([a,b]) < \infty.$$
5. A la conclusión.