Casi, pero cuando el aprendizaje de la topología, mejor tratar de entender lo que es puramente topológico y lo propio de los espacios métricos. Aquí, ¿qué quieres demostrar que no es adecuada en absoluto a la métrica de los espacios, ni al hecho de que $\mathbf{R}$'s, además de a $(x,y)\mapsto x+y$ es continua, sino que es debida a la continua mapas con Hausdorff de destino. Voy a dar una prueba de este énfasis.
Así que vamos a mostrar que $G$ es cerrado en $\mathbf{R}\times \mathbf{R}$ y para hacerlo, vamos a demostrar que su complemento es abierto, así que vamos a $(x,y)\in \mathbf{R}\times \mathbf{R} \backslash G$. Desde $(x,y)\not\in G$,$y\not=f(x)$. Como $\mathbf{R}$ es Hausdorff (por ser un espacio métrico, sí) no son disjuntas abrir conjuntos de $U$ $V$ $\mathbf{R}$ tal que $y\in U$$f(x)\in V$. Finalmente, $f$ es continua, entonces existe un abierto de vecindad $W$ $x$ tal que $f(W])\subseteq V$. Por definición de la topología producto, $W\times U$ es una vecindad de a $(x,y)$ $\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ y este barrio es disjunta de a $G$. Deje $(z,f(z))$ ser cualquier punto de $G$. Si $z\not\in W$, entonces claramente $(z,f(z))\not\in W\times U$. Si $z\in W$,$f(z)\in V$, lo $f(z)\not\in U$, y por lo tanto $(z,f(z))\not\in W\times U$. Por lo $(z,f(z))\notin W\times U$, y de ello se sigue que $(W\times U)\cap G=\varnothing$. Nuestra vecindad $W\times U$ se encuentra en el complemento de $G$. Cuando acabamos de mostrar que cada punto del complemento de $G$ está en el interior del complemento de $G$, y esto significa que este complemento es abierto.
Comentario 1. Sustitución de la fuente de $\mathbf{R}$ por cualquier espacio topológico $X$ y el de destino $\mathbf{R}$ por cualquier topológico de Hausdorff espacio de $Y$, la misma prueba anterior muestra que cualquier mapa continuo $f : X \to Y$ a partir de un espacio topológico a un topológico de Hausdorff espacio ha cerrado gráfico.
Observación 2. Hay ejemplos de lo contrario a la closedness de la gráfica es $Y$ no es Hausdorff. ;-)
Observación 3. Si usted quiere dar una prueba usando ese $f$ continuo implica que la imagen inversa de un conjunto cerrado en $Y$ es cerrado en $X$, gusta esta : como $Y$ es Hausdorff, $\Delta = \{(y,y)\;|\;y\in Y\}$ es cerrado en $Y\times Y$ (mismo estilo de la prueba la prueba me dio arriba) y ahora $G = (f\times \textrm{Id})^{-1}(\Delta)$ es cerrado, como $\Delta$ es y como $f\times \textrm{Id} : X\times Y\to Y\times Y$ definido por $(x,y)\mapsto (f(x),y)$ es continua.
