¿Cuál es la diferencia entre un anillo y un $\sigma$-ring?

Question

Empecé a leer Rudin los Principios de Análisis Matemático para algunos la Teoría de Lebesgue. Rudin introduce ambos anillos y $\sigma$-anillos, pero no veo la diferencia entre ellos.

Suponiendo que yo no soy la incomprensión de la definición, un anillo es una familia $\mathscr{R}$ establece que es cerrado bajo establezca la diferencia y los sindicatos. Por otro lado, una $\sigma$- ring es un anillo con la propiedad de que $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathscr{R}$ donde $A_i\in\mathscr{R}$. Pero no es esto sólo decir que un $\sigma$-ring es un anillo que se cierra en virtud de la unión, que ya sabemos a partir de la definición de un anillo?

Si alguien pudiera ayudar a aclarar esta duda, sería muy de agradecer. Gracias.

Answer 1

Rudin define una familia de $\mathscr{R}$ de los conjuntos de un anillo de si para cualquier par de $A,B\in \mathscr{R}$,$A\setminus B$$A\cup B$$\mathscr{R}$.

Por otro lado, una $\sigma$-ring es una familia $\mathscr{R}$ establece que es un anillo tal que, adicionalmente, tenemos $\bigcup_{n=0}^\infty{A_n}$ para cualquier secuencia $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de los elementos de $\mathscr{R}$.

Como un ejemplo de un anillo que no es un $\sigma$-ring, tome $\mathscr{R}$ a ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$. Este es un anillo, ya que dado $A,B$ finito, tenemos $A\cup B$ $A\setminus B$ finito. Sin embargo, no es un $\sigma$anillo: Tome $A_n=\{n\}$, por lo que el $\bigcup_{n=0}^\infty{A_n}=\mathbb{N}$, que no es ciertamente finito, y por lo tanto no pertenecen a $\mathscr{R}$. Esto demuestra que $\mathscr{R}$ no puede ser un $\sigma$-ring.