Hay una proposición en el Tao Análisis del libro en el capítulo cuatro. No puedo probarlo y estoy casi seguro que debe ser muy fácil de hacer.
Definición 1: Para cualquier $a,b,c,d\in \mathbb{N}$ escribiremos $\langle a,b \rangle \sim \langle c,d \rangle \iff a+_{\mathbb{N}}d=b+_{\mathbb{N}}c$
Definición 2:
La suma de dos números enteros $\langle a,b \rangle +_{\mathbb{Z}} \langle c,d \rangle$ está definido por la fórmula: $\langle a,b \rangle +_{\mathbb{Z}} \langle c,d \rangle:= \langle a+_{\mathbb{N}}c\,,\,b+_{\mathbb{N}}d\rangle $.
El producto de dos enteros $\langle a,b \rangle \cdot_{\mathbb{Z}} \langle c,d \rangle:= \langle\, a\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}b\cdot_{\mathbb{N}}d\,,\, b\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}a\cdot_{\mathbb{N}}d\, \rangle. $
Lema 1: la Adición y la multiplicación son bien definidos.
Prueba:
Suponga que $\langle a,b\rangle,\langle a',b'\rangle,\langle c,d\rangle, \langle c',d'\rangle \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ y que $\langle a,b\rangle \sim \langle a',b'\rangle$, $\langle c,d\rangle \sim \langle c',d'\rangle$.
Además: Tenemos que demostrar que $\langle a,b\rangle +_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle \sim \langle a',b'\rangle +_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle $.
$\langle a,b\rangle +_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle \sim \langle un+_{\mathbb{N}}c\,,\,b+_{\mathbb{N}}d \rangle$ and $\langle a',b'\rangle +_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle \sim \langle un'+_{\mathbb{N}}c\,,\,b'+_{\mathbb{N}}d \rangle$. Thus we need to show that $+_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}b'+_{\mathbb{N}}d = b+_{\mathbb{N}}d+_{\mathbb{N}}un'+_{\mathbb{N}}c$. But since $\langle a,b\rangle \sim \langle a',b'\rangle$, i.e, $+_{\mathbb{N}}b'=a'+_{\mathbb{N}}b$ and so by adding $c+_{\mathbb{N}}$ d, obtenemos la demanda.
Producto: de la misma manera que tenemos que demostrar que $\langle a,b\rangle \cdot_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle \sim \langle a',b'\rangle \cdot_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle $.
$\langle a,b\rangle \cdot_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle \sim \langle\, un\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}b\cdot_{\mathbb{N}}d\,,\, b\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}\cdot_{\mathbb{N}}d\, \rangle$ and $\langle',b'\rangle \cdot_{\mathbb{Z}} \langle c,d\rangle \sim \langle\,'\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}b'\cdot_{\mathbb{N}}d\,,\, b\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}'\cdot_{\mathbb{N}}d\, \rangle$
Entonces debemos demostrar que:
$a\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}b\cdot_{\mathbb{N}}d+_{\mathbb{N}}b'\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}a'\cdot_{\mathbb{N}}d=a'\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}b'\cdot_{\mathbb{N}}d+_{\mathbb{N}}b\cdot_{\mathbb{N}}c+_{\mathbb{N}}a\cdot_{\mathbb{N}}d$ $\:\:\:\:\;\;\,c\cdot_{\mathbb{N}} \left( a+_{\mathbb{N}} b'\right)+_{\mathbb{N}} d\cdot_{\mathbb{N}} \left(a'+_{\mathbb{N}} b \right)=c\cdot_{\mathbb{N}} \left( a'+_{\mathbb{N}} b\right)+_{\mathbb{N}} d\cdot_{\mathbb{N}} \left(a+_{\mathbb{N}} b' \right)$
Pero desde $a+_{\mathbb{N}}b'=a'+_{\mathbb{N}}b$ claramente LHS =RHS. Las otras dos identidades puede ser comprobado con simétrica argumentos. $\,\,\;\square$
Definición 3: Dado un número natural $n$ el entero correspondiente es $n_{\mathbb{Z}}$ definido por la fórmula
$n_{\mathbb{Z}}:=\langle\, n,0\,\rangle$
(Para simplificar, vamos a utilizar el "$+$ " "$+_{\mathbb{N}}$" y "$\cdot$ ""$\cdot_{\mathbb{N}}$ " e $=_{\mathbb{Z}}$$\sim$.
La proposición: Vamos a $x$ $y$ ser números enteros tales que a $x \cdot_{\mathbb{Z}} y =_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}.$ Entonces $x=_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}$ o $y=_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}$ o ambos.
Prueba: Por el bien de la contradicción, supongamos que $x\not=_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}$$y\not=_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}$. Deje $x$ ser el par ordenado $\langle a,b \rangle$ $y$ $\langle c,d \rangle$ donde $a,b,c,d\in \mathbb{N}$.
Reivindicación 1: $\langle e,f \rangle \not=_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}\iff e\not=f$
La prueba de la Reivindicación 1:
($\Rightarrow$) Supongamos $e=f$. Claramente $\,e+0=f+0$$\langle e,f \rangle =_{\mathbb{Z}} \langle\, 0,0\,\rangle =_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}$.
($\Leftarrow$) Ahora suponga $\langle e,f \rangle =_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}}$. Por lo $\,e+0=f+0$ y, a continuación, $\,e=f$ como se desee. $\,\,\square$
Luego por la reivindicación 1, $a\not=b$$c\not=d$.
$\langle a,b \rangle \cdot_{\mathbb{Z}} \langle\, c,d \rangle = \langle a\cdot c+b\cdot d\,,\,b\cdot c+a\cdot d \,\rangle = 0_{\mathbb{Z}}$
Por eso, $ a\cdot c+b\cdot d = b\cdot c+a\cdot d$
Y aquí es donde estoy atascado.
Pensé que tal vez podría usar la tricotomía de ordenado de números naturales y analizar cada caso implica una contradicción, pero es realmente un desastre. Entonces, mi pregunta es: ¿cuál crees que es la forma inteligente de hacer eso?
Realmente agradecería una ayuda. Gracias.
