He estado revisando mis apuntes para un curso que estoy tomando y estoy confundido acerca de mi profesor muestra que F=R[x]/⟨x2+1⟩ es isomorfo a C . Entiendo la mayor parte, pero cuando llega el momento de demostrar que el homomorfismo es una biyección me confundo. Esencialmente, lo que hace es demostrar que f:F→C:f(g)=g(i),g∈F es un homomorfismo y luego muestra la naturaleza inyectiva demostrando que ker(f)=1F y luego muestra la naturaleza biyectiva.
No entiendo por qué ésta es una forma válida de demostrar la naturaleza inyectiva de f . ¿Podría alguien explicármelo? Además, si no le importa, ¿podría explicarme la lógica de esta prueba?
Gracias
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Pues bien, cuando se trata de grupos o anillos (y estructuras similares) un homomorfismo ϕ es inyectiva si kerϕ=0
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¿Dice su libro 1F o 0F ?
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Creo en la sencillez, y espero que mi respuesta sea coherente con ella. Mientras tanto he cambiado F=R[x]/<x2+1> a F=R[x]/⟨x2+1⟩ . Es el uso habitual.
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Cabe señalar que los homomorfismos de campo son automáticamente inyectivos: Si f(x)=0 para x≠0 usted golpea una contradicción con 1=f(xx)=f(x)f(1x)=0 por tanto, si f(x)=f(y) obtienes f(x−y)=0 y así x=y . Para usar esto tendrías que demostrar que F es un campo.