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¿Cómo se demuestra la naturaleza inyectiva de un isomorfismo de R[x]/x2+1 et C

He estado revisando mis apuntes para un curso que estoy tomando y estoy confundido acerca de mi profesor muestra que F=R[x]/x2+1 es isomorfo a C . Entiendo la mayor parte, pero cuando llega el momento de demostrar que el homomorfismo es una biyección me confundo. Esencialmente, lo que hace es demostrar que f:FC:f(g)=g(i),gF es un homomorfismo y luego muestra la naturaleza inyectiva demostrando que ker(f)=1F y luego muestra la naturaleza biyectiva.

No entiendo por qué ésta es una forma válida de demostrar la naturaleza inyectiva de f . ¿Podría alguien explicármelo? Además, si no le importa, ¿podría explicarme la lógica de esta prueba?

Gracias

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Pues bien, cuando se trata de grupos o anillos (y estructuras similares) un homomorfismo ϕ es inyectiva si kerϕ=0

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¿Dice su libro 1F o 0F ?

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Creo en la sencillez, y espero que mi respuesta sea coherente con ella. Mientras tanto he cambiado F=R[x]/<x2+1> a F=R[x]/x2+1 . Es el uso habitual.

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Zelos Malum Puntos 2309

Es un teorema famoso que φ es un monomorfismo/inyectivo, si y sólo si, el núcleo de φ es trivial, es decir kerφ={0} . Te lo demostraré aquí. Lo que significa que sin embargo usted o él deben haber cometido un error al escribir 1 como nunca se puede tener φ(1)=0 , la unidad va a la unidad.

Supongamos que φ es inyectiva, entonces φ(a)=0=φ(b) tiene que a=b y el único elemento debe ser 0 porque cualquier homomorfismo toma 00 .

Supongamos que kerφ=0 supongamos que φ(a)=φ(b) esto nos da que 0=φ(a)φ(b)=φ(ab) Esto significa que ab=0 y a su vez a=b por lo tanto es un monomorfismo.

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learnmore Puntos 6307

En primer lugar, conviene examinar los elementos del campo R[x]/x2+1 .

Desde R es un campo R[x] es un dominio euclidiano por lo que el algoritmo de división se cumple.

por lo que cualquier elemento de R[x]/x2+1 es de la forma a+bα donde α satisface α2+1=0 et a,bR .

Consideremos ahora el homomorfismo ϕ:R[x]/x2+1C por ϕ(a+bα)=a+bi

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luv Puntos 111

Las dos respuestas hasta ahora han explicado por qué kerf=0 implica que el mapa es biyectivo. Para la prueba dada, también hay que comprobar que el mapa está bien definido ya que los elementos de R[x]/x2+1 son cosets (por lo que los representantes no son únicos).

Una prueba mejor es la siguiente:

Considere el mapa ϕ:R[x]C dado por ϕ(g)=g(i) . Es fácil comprobar que ϕ es un homomorfismo suryectivo de anillo. Por el Teorema Fundamental del Homomorfismo para anillos, existe un isomorfismo ¯ϕ:R[x]/kerϕC. Ahora queda demostrar que kerϕ=x2+1 . Bueno, ya que i2+1=0 se deduce que x2+1kerϕ . Por otra parte, dado que x2+1 es irreducible en R[x] se deduce que x2+1 es un ideal maximal y kerϕ=x2+1 según sea necesario.

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Michael Hardy Puntos 128804

Si f(g1)=f(g2) entonces, puesto que f es un homomorfismo de anillos, f(g1g2)=0 de modo que g1g2kerf . Si el único miembro de kerf es 0 entonces g1g2=0 así que g1=g2 .

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