¿Cómo se demuestra la naturaleza inyectiva de un isomorfismo de $\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$ et $\mathbb{C}$

Question

He estado revisando mis apuntes para un curso que estoy tomando y estoy confundido acerca de mi profesor muestra que $\mathbb{F}=\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$ es isomorfo a $\mathbb{C}$ . Entiendo la mayor parte, pero cuando llega el momento de demostrar que el homomorfismo es una biyección me confundo. Esencialmente, lo que hace es demostrar que $f:\mathbb{F} \to \mathbb{C}: f(g)=g(i),g\in \mathbb{F}$ es un homomorfismo y luego muestra la naturaleza inyectiva demostrando que $\ker(f)={1_\mathbb{F} }$ y luego muestra la naturaleza biyectiva.

No entiendo por qué ésta es una forma válida de demostrar la naturaleza inyectiva de $f$ . ¿Podría alguien explicármelo? Además, si no le importa, ¿podría explicarme la lógica de esta prueba?

Gracias

Answer 1

Es un teorema famoso que $\varphi$ es un monomorfismo/inyectivo, si y sólo si, el núcleo de $\varphi$ es trivial, es decir $\ker\varphi = \{0\}$ . Te lo demostraré aquí. Lo que significa que sin embargo usted o él deben haber cometido un error al escribir $1$ como nunca se puede tener $\varphi(1)=0$ , la unidad va a la unidad.

Supongamos que $\varphi$ es inyectiva, entonces $\varphi(a)=0=\varphi(b)$ tiene que $a=b$ y el único elemento debe ser $0$ porque cualquier homomorfismo toma $0\to 0$ .

Supongamos que $\ker\varphi=0$ supongamos que $\varphi(a)=\varphi(b)$ esto nos da que $$0=\varphi(a)-\varphi(b)=\varphi(a-b)$$ Esto significa que $a-b=0$ y a su vez $a=b$ por lo tanto es un monomorfismo.

Answer 2

En primer lugar, conviene examinar los elementos del campo $\mathbb R[x]/\langle x^2+1\rangle$ .

Desde $\mathbb R$ es un campo $\mathbb R[x]$ es un dominio euclidiano por lo que el algoritmo de división se cumple.

por lo que cualquier elemento de $\mathbb R[x]/\langle x^2+1\rangle$ es de la forma $a+b\alpha$ donde $\alpha$ satisface $\alpha ^2+1=0$ et $a,b\in \mathbb R$ .

Consideremos ahora el homomorfismo $\phi:\mathbb R[x]/\langle x^2+1\rangle\to \mathbb C$ por $\phi(a+b\alpha)=a+bi$

Answer 3

Las dos respuestas hasta ahora han explicado por qué $\ker f=0$ implica que el mapa es biyectivo. Para la prueba dada, también hay que comprobar que el mapa está bien definido ya que los elementos de $\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$ son cosets (por lo que los representantes no son únicos).

Una prueba mejor es la siguiente:

Considere el mapa $\phi:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{C}$ dado por $\phi(g)=g(i)$ . Es fácil comprobar que $\phi$ es un homomorfismo suryectivo de anillo. Por el Teorema Fundamental del Homomorfismo para anillos, existe un isomorfismo $$\overline{\phi}:\mathbb{R}[x]/\ker\phi\to\mathbb{C}.$$ Ahora queda demostrar que $\ker\phi=\langle x^2+1\rangle$ . Bueno, ya que $i^2+1=0$ se deduce que $\langle x^2+1\rangle\subset\ker\phi$ . Por otra parte, dado que $x^2+1$ es irreducible en $\mathbb{R}[x]$ se deduce que $\langle x^2+1\rangle$ es un ideal maximal y $\ker\phi=\langle x^2+1\rangle$ según sea necesario.

Answer 4

Si $f(g_1) = f(g_2)$ entonces, puesto que $f$ es un homomorfismo de anillos, $f(g_1-g_2)=0$ de modo que $g_1-g_2\in\ker f$ . Si el único miembro de $\ker f$ es $0$ entonces $g_1-g_2=0$ así que $g_1=g_2$ .