Una manera de pensar acerca de orientability de un rango arbitrario $k$ vector paquete de $E$ es para pensar de forma análoga a la orientability de la tangente paquete.
Recordemos que la definición de un orientable tangente paquete es que el colector es orientable, lo que es equivalente a la existencia de un lugar de fuga forma superior, también conocido como una forma de volumen. Podemos hacer algo similar para el vector paquete de $E$. Si $E$ rango $k$, podemos formar la parte superior exterior de energía $\wedge^kE$. Entonces decimos, de forma análoga al caso de la tangente paquete, que el vector paquete de $E$ es orientable si existe un lugar de fuga de la sección de $\wedge^kE$.
No hay una relación directa entre la orientability de un vector paquete de la base y el colector. La razón por la que hay entre la tangente del paquete es que las dos nociones (orientable colector y orientable tangente bundle) significan exactamente la misma cosa! Para preguntar por la relación de orientability de un vector arbitrario del paquete y de la base del colector es preguntar por la relación entre un vector arbitrario paquete y la tangente paquete; y, en general, no hay uno.
(Sólo para ilustrar: considere la posibilidad de la banda de Moebius constituida por $[0,1]\times[0,1]$ y dando un medio giro. Si usted incorpora la banda de Moebius en $\mathbb{R}^3$, y pull-back a la tangente paquete de $\mathbb{R}^3$ de la franja, que es un orientable vector paquete cuando la banda de Moebius en sí no es orientable. Por otro lado, veamos la imagen de $S^1$ en la línea media de la banda de Moebius. Su paquete normal en relación a la banda de Moebius no es orientable, mientras que $S^1$ es.)
Acerca de que el doble de la tangente del paquete: si tratas a $TTM$ como un paquete de más de $TM$, entonces para arbitrario $M$, ya que el $TM$ es orientable como un colector, claramente $TTM$, como su tangente paquete, es orientable como un paquete.
Permítanme añadir una cosa más: si usted está familiarizado con la prueba de que $TM$ siempre es orientable como un colector, se puede utilizar el mismo método para demostrar el siguiente teorema:
Teorema Deje $E$ ser un vector paquete de más de $M$. Considerar las afirmaciones (i) $M$ es orientable como un colector (ii) $E$ es orientable como un colector (iii) $E$ es orientable como un vector paquete. Cualquiera de las dos declaraciones de ser verdad implicará la tercera.
