¿Ha $(\max(0, x))^2$ continua primera derivada?

Question

A primera vista, $(\max(0, x))^2$ tiene un aspecto liso.

Si no me equivoco:

si $x \le 0$ la derivada es igual a $2 \times\max(0, x) \times0 = 0$

si $x \ge 0$ la derivada es igual a $2 \times \max(0, x) \times 1$ y es igual a cero si $x = 0$

Parece derivado de la $(\max(0, x))^2$ es continua.

Pero cuando traté de comprobar con Wolfram Alpha que me muestra que derivado de la $(\max(0, x))^2$ es indeterminado en $x = 0$. Enlace

Así que ¿alguien puede decirme donde he cometido un error?

Answer 1

Su función es obviamente diferenciable en $\mathbb R^*$.

Tienes si llama a la función $f$:

$$\forall x

y

$$\forall x>0, \quad f'(x)=2x.$$

Por lo tanto

$$\lim_{\substack{ x\to 0 \ x0}} f'(x).$$

Y ya que es continuo en $f$ $\mathbb R$, que le da ese % es diferenciable en $f$ $0$.

(Wolfram Alpha es incorrecto)

Answer 2

Que $f(x) = {\left[\max(0, x)\right]}^2$. El derivado es $f'(x) = \max(0, 2x)$ y los límites direccionales a $0$ de acuerdo.

Sin embargo, lisa generalmente medios $\mathcal C^\infty$, pero $f$ no $\mathcal C^\infty$, porque $f''$ no es continua. Tenemos que #% el % $ $$f''(x) = 2H(x),$ #% Dónde está la función paso de Heaviside.

EDICIÓN: Originalmente la pregunta si la función es suave y más tarde fue cambiada.

Answer 3

Otra forma de escribir la función es: $$\begin{align} f(x) & = \operatorname{max}(0, x)^2\\ & = x^2 H(x),\end{align}$$ with $H$ la función escalón unitario. Tomando la derivada de esta segunda forma, se obtiene: $$ f'(x) = 2x H(x) + x^2 \delta(x). $$ Si usted ingenuamente inserte $x=0$ en esta expresión obtendrá $f' = 0 + 0 \times \infty$, un clásico de la forma indeterminada. Esto es aclarado por reconocer que en un integral, el único lugar donde una función delta ha significado preciso, la función delta evalúa lo que se multiplica en el punto donde su argumento es $0$, dividido por la derivada del argumento. En este caso, que daría $f'(0) = 0$.