Paso final en la solución de la ecuación diferencial

Question

No puedo calcular el último paso de la siguiente pregunta:

Mostrar que la solución general de la ecuación diferencial: $dy/dx + y\tan x=1$ está dado por: $y\sec x=\ln(\sec x + \tan x) + C$

Esto es lo que he trabajado hasta ahora:

Para hacer las cosas más fáciles deje $u(x)=\exp(\int\! \tan(x)\,\mathrm dx)=\sec(x)$

Multyply ambos lados por $u(x): \sec(x)\frac {dy(x)} {dx} + {\sec(x)}{\tan(x)}y(x)=\sec(x)$

A continuación, sustituir $\sec(x)\tan(x)= \frac {d\sec(x)} {dx}$

$\sec(x) \dfrac {dy(x)}{dx}+ \dfrac{d \sec(x)} {dx}y(x)= \sec(x)$

El uso de la inversa del producto de la regla de la LHS:

$\displaystyle\frac d {dx} (\sec(x)y(x))dx= \int \sec(x)\,dx$

a continuación, la integración de ambos lados con respecto a x $\int \frac d {dx} (\sec(x)y(x))dx= \int \sec(x)dx$

Por lo tanto: $\sec(x)y= -\log(\cos(\tfrac x 2)- \sin(\tfrac x 2))+\log(\cos(\tfrac x 2) + \sin(\tfrac x 2)) + C$

¿Dónde puedo ir desde aquí para encontrar la solución (dada en la pregunta)? Gracias de antemano!

Answer 1

Usted tiene un poco inusual, pero esencialmente versión correcta de un integrante de $\sec x$. Hay un problema de falta absoluta de valor de los signos, que también están ausentes en el problema de la versión, que debería haber sido $\log(|\sec x+\tan x|$).

A ver es (aparte de la negatividad de los temas) el mismo que el estándar utilizado en el problema, nos muestran que $$\frac{\cos(x/2)+\sin(x/2)}{\cos(x/2)-\sin(x/2)}=\sec x+\tan x.$$ Para ver que esto es suficiente, tenga en cuenta que $\log a-\log b=\log(a/b)$.

Multiplique la parte superior e inferior por $\cos(x/2)+\sin(x/2)$.

En la parte inferior tenemos $\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)$, que por un doble ángulo de la fórmula es igual a $\cos x$. En la parte superior tenemos $\cos^2(x/2)+\sin^2(x/2)+2\cos(x/2)\sin(x/2)$,$1+\sin x$.

Así que terminamos con $\frac{1+\sin x}{\cos x}$,$\sec x+\tan x$.

Answer 2

Puesto que está dando una solución, $$ y = \frac{\ln|\sec x + \tan x | + C} {\sec x} = (\cos x) \ln|\sec x + \tan x | + C\cos x, $$ puedes diffentiate, $dy/dx$, de encontrar y llevar a la ecuación en lugar de $y$ y ver si los dos lados son iguales.

De esa manera, verificar que es una solución. La siguiente pregunta es si es general, es decir, no existen otras soluciones. Puede seguir de un teorema en una sección de un libro de texto que leído recientemente.